整数分拆

整数分拆只记录各部分大小及其重数，不记录排列次序，因此 $3+1$ 与 $1+3$ 是同一对象。Ferrers 图把部分画成行长，使“部分个数”和“最大部分”通过转置互换。局部限制常在图形转置或生成函数乘积中变成另一种等价限制。

整数分拆把一个整数写成无序正整数和；集合划分理路集合划分Set partition把集合表示为两两不交非空块且其并为全体的块族。保留底层元素的标签，第二类 Stirling 数理路第二类 Stirling 数Stirling number of the second kind把 n 元集合划分为 k 个非空无标号块的方案数。计数其中恰有指定数量非空块的划分。集合划分的块无序，块内元素则可区分。

$4$ 有五个分拆：$4$、$3+1$、$2+2$、$2+1+1$、$1+1+1+1$。

无限乘积在每个固定次数只涉及有限多个因子，因此形式幂级数意义良好；在 $|x|<1$ 内，它还定义解析函数。

以 $5$ 的分拆观察共轭：恰有两个部分的分拆为 $4+1$ 与 $3+2$，转置 Ferrers 图后分别得到 $2+1+1+1$ 与 $2+2+1$。后两者的最大部分恰为二，直接展示了部分个数与最大部分的交换。同一转置也把“部分数至多 $k$”与“最大部分至多 $k$”对应起来。

定义要求每个部分为正。若用零补齐表示，例如把 $(3,1)$ 写成 $(3,1,0)$，尾零不算作部分，也不产生新的分拆；分拆的长度始终是正部分的个数。分拆 $0$ 采用空分拆，正好解释 $p(0)=1$。

自然数理路自然数模型Natural numbers · Peano system由零元、后继和二阶归纳原则范畴性刻画的离散数系模型。的无序加法分解可用普通生成函数理路普通生成函数Ordinary generating function把序列编码为形式幂级数 Σ a_n x^n。 $\prod _{k\ge 1}(1-x^k{)}^{-1}$ 编码，每个因子选择部分 $k$ 的重数。整数分拆连接对称函数、表示论、统计物理中的能级占据计数以及模形式中深刻的恒等式与同余性质。

在对称函数与 Schur 基理路对称函数与 Schur 基Symmetric function · Schur function · Schur polynomial · Schur basis · 舒尔函数按固定总次数稳定有限变量的对称多项式，以交错行列式除以 Vandermonde 构造 Schur 基，并从三变量恒等式复算 s21 的值。中，大小为 $d$ 的分拆标记次数 $d$ 的基向量。变量数 $n$ 只允许长度至多为 $n$ 的分拆；达到 $n\ge d$ 后，所有分拆都已出现，所以稳定齐次空间的维数就是 $p(d)$。三次部分的 $(3),(2,1),(1,1,1)$ 给出三个基向量，也解释两变量特化为什么会丢掉最后一种类型。

若同时限制部分数至多 $k$、最大部分至多 $n-k$，Ferrers 图被放进一个固定矩形。Gaussian 二项式理路Gaussian 二项式与多重集加权计数Gaussian binomial coefficient · q-binomial coefficient · q-multinomial coefficient · Gaussian polynomial以二元词逆序和矩形内分拆定义q二项式，证明递推、乘积及有限q二项式定理，再推导重复字母的逆序多项式。将这批有限分拆按格子数编码为 ${[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}]}_q$：把每个零左侧的一的数量倒序写成行长，得到二元词逆序与分拆面积的可逆对应。这不是本页无限制乘积的简单截断；两个独立上限都要保留。

形状与增长记录 ​

分拆只规定格子的位置，还没有给格子填标签。Young表理路Young 表与水平条链Young tableau · Young tableaux · Standard Young tableau · Semistandard Young tableau · 标准杨表 · 半标准杨表从分拆形状定义标准与半标准Young表，以水平条链和角格链提供可逆证书，并独立枚举七格形状的两种计数。在形状上增加行、列比较规则；保留标签不超过$k$的格子，又得到一份较小分拆。半标准表的每一步差集在同一列至多添一格，称水平条；它可以同时分布在多行。例如$(2)\subset (3,1)\subset (4,2,1)$的最后一步新增列为4、2、1，仍是一条水平条。给出这条链并把第$k$步新格填$k$，就能恢复唯一表。因此固定最终分拆与固定整条增长链提供的信息量不同。