形式陈述

正整数 $n$$n$ 的整数分拆是正整数的无序多重集合

$$ \lambda=(\lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots\ge\lambda_k>0), \qquad \sum_i\lambda_i=n. $$$$\lambda =({\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_k>0),\sum _i{\lambda }_i=n.$$

分拆数记为 $p(n)$$p(n)$，约定 $p(0)=1$$p(0)=1$。其普通生成函数为

$$ \sum_{n\ge0}p(n)x^n =\prod_{m\ge1}\frac1{1-x^m} $$$$\sum _{n\ge 0}p(n)x^n=\prod _{m\ge 1}\frac{1}{1-x^m}$$

（作为形式幂级数理解）。Ferrers 图把第 $i$$i$ 行画成 $\lambda_i$${\lambda }_i$ 个点；转置图给出共轭分拆，从而“恰有 $k$$k$ 个部分”的分拆与“最大部分为 $k$$k$”的分拆等势。

直觉

分拆只关心各部分大小，不关心排列顺序。生成函数中因子 $(1-x^m)^{-1}$$(1-x^m{)}^{-1}$ 记录大小为 $m$$m$ 的部分可选任意多个。

例子与边界

$4$$4$ 有五个分拆：$4$$4$、$3+1$$3+1$、$2+2$$2+2$、$2+1+1$$2+1+1$、$1+1+1+1$$1+1+1+1$。这不同于有序的整数合成，例如 $3+1$$3+1$ 与 $1+3$$1+3$ 在分拆中相同。共轭把“部分数至多 $k$$k$”与“最大部分至多 $k$$k$”对应。无限乘积在每个固定次数只涉及有限多个因子，因此形式幂级数意义良好；把它当作复函数时还需 $|x|<1$$|x|<1$ 等收敛条件。若允许零部分，必须先固定部分数，否则会产生无限多冗余表示。

推论与应用

整数分拆连接生成函数、表示论、对称函数、统计力学和模形式。

参考资料

• Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Vol. 1, 2nd ed., Cambridge University Press, 2011，Ch. 1, partitions, Ferrers diagrams, and generating functions。
• Philippe Flajolet and Robert Sedgewick, Analytic Combinatorics, Cambridge University Press, 2009，Ch. I, generating functions for partitions。