整数分拆

整数分拆只记录各部分大小及其重数，不记录排列次序，因此 $3+1$ 与 $1+3$ 是同一对象。Ferrers 图把部分画成行长，使“部分个数”和“最大部分”通过转置互换。局部限制常在图形转置或生成函数乘积中变成另一种等价限制。

整数分拆把一个整数写成无序正整数和；第二类 Stirling 数公理库第二类 Stirling 数Stirling number of the second kind把 n 元集合划分为 k 个非空无标号块的方案数。则计数把带标签元素划分为给定数量的非空块。前者不保留元素身份，后者的块无序但块内装的是可区分对象。

$4$ 有五个分拆：$4$、$3+1$、$2+2$、$2+1+1$、$1+1+1+1$。这不同于有序的整数合成，例如 $3+1$ 与 $1+3$ 在分拆中相同。共轭把“部分数至多 $k$”与“最大部分至多 $k$”对应。无限乘积在每个固定次数只涉及有限多个因子，因此形式幂级数意义良好；把它当作复函数时还需 $|x|<1$ 等收敛条件。若允许零部分，必须先固定部分数，否则会产生无限多冗余表示。

整数 $5$ 有七个分拆：$5,4+1,3+2,3+1+1,2+2+1,2+1+1+1,1^5$。其中恰有两个部分的分拆有 $4+1,3+2$ 两个；最大部分恰为二的也有 $2+2+1,2+1+1+1$ 两个，二者由 Ferrers 图转置对应。若把次序计入，$3+1$ 与 $1+3$ 分开，得到的是 composition 而非 partition。

自然数公理库自然数模型Natural numbers · Peano system由零元、后继和二阶归纳原则范畴性刻画的离散数系模型。的无序加法分解可用普通生成函数公理库普通生成函数Ordinary generating function把序列编码为形式幂级数 Σ a_n x^n。 $\prod _{k\ge 1}(1-x^k{)}^{-1}$ 编码，每个因子选择部分 $k$ 的重数。与集合划分公理库集合划分Set partition把集合表示为两两不交非空块且其并为全体的块族。不同，整数分拆不保留底层标号元素；它连接对称函数、表示论、统计物理中的能级占据计数以及模形式中深刻的恒等式与同余性质。