第二类 Stirling 数

把 $n$ 个标号元素划成 $k$ 个无标签非空块时，观察最后一个元素：它要么单独成新块，要么加入已有 $k$ 块之一。前者留下 $S(n-1,k-1)$，后者有 $kS(n-1,k)$，这给出递推。块无标签使它不同于把元素映到 $k$ 个有名盒子的满射数。

$\{\genfrac{}{}{0ex}{}{\{3}{2\}=3}\}$，对应三种“一个单元素块加一个二元素块”的划分。它与第一类 Stirling 数不同，后者计数排列的循环。满射数为 $\{\genfrac{}{}{0ex}{}{k!\{n}{k\}}\}$，因为给无标号块再安排 $k$ 个目标标签。

$S(4,2)=7$：可由递推 $S(3,1)+2S(3,2)=1+2\cdot 3$ 得到。若两块标为红、蓝，则每个无标签二块划分对应 $2!$ 个满射，所以满射数为 $2!S(4,2)=14$。边界值 $S(0,0)=1$ 保留空划分，$S(n,0)=0$ 对 $n>0$。

集合划分公理库集合划分Set partition把集合表示为两两不交非空块且其并为全体的块族。由 Stirling 数按块数细分，对 $k$ 求和得到 Bell 数；递推属于递推关系公理库递推关系Recurrence relation用先前项规定序列当前项的关系。，指数生成函数公理库指数生成函数Exponential generating function · EGF以 a_n x^n/n! 编码带标号组合对象计数序列的形式幂级数。为 $(e^x-1{)}^k/k!$，其中非空块贡献 $e^x-1$。它也出现在有限差分与普通幂、下降阶乘之间的基变换中，进而联系随机变量的矩展开。与整数分拆公理库整数分拆Integer partition把正整数写成若干正整数之和且忽略加数次序的表示。相比，这里元素有标号；与多项式系数公理库多项式系数Multinomial coefficient把 n 个可区分对象分入若干有标号组时的计数系数 n!/(n1!⋯nk!)。相比，这里块大小不预先固定且块无标签。