集合划分

集合划分把每个元素分配到恰好一个非空块，块之间无顺序、块内也无顺序。它与等价关系完全对应：同块表示等价，反之每个等价类构成一个块。块有标签时问题会改变，因为交换两个标签会产生不同函数，却不产生不同无标签划分。

集合划分保留底集元素的身份，只忘记各块顺序；整数分拆公理库整数分拆Integer partition把正整数写成若干正整数之和且忽略加数次序的表示。只记录块大小之和，不记录哪些元素落入哪一块。把每个集合划分映成块大小会丢失大量信息，因此两者不是同一个计数对象。

整数按模 3 同余分成三个剩余类。$\{\{1,2\},\{3\}\}$ 是 $\{1,2,3\}$ 的划分；允许空块或让元素同时出现在两块都违反定义。单块划分最粗，所有单元素块的划分最细。集合覆盖不要求不交，因此不一定是划分。聚类输出常被视为划分，但软聚类允许重叠或概率成员资格，已超出该定义。

集合 $\{1,2,3\}$ 有五个划分：一个三元素块划分、三个“二加一”划分，以及一个由三个单点块组成的划分。划分 $\{\{1,2\},\{3\}\}$ 与交换块书写次序是同一个对象。若允许空块，则“恰分成 $k$ 块”的计数会失真；标准划分只列实际出现的非空等价类。

等价关系公理库等价关系Equivalence relation满足自反、对称和传递性的关系。与划分一一对应，第二类 Stirling 数公理库第二类 Stirling 数Stirling number of the second kind把 n 元集合划分为 k 个非空无标号块的方案数。计数固定块数的划分。所有划分按细化关系组成格公理库格Lattice · Lattice order任意两元素都有最大下界与最小上界的偏序集。，聚类、商集、并查集维护的连通分量都可用这一语言。若块带有顺序或标签，应转用满射计数或多项式系数，而不是直接套 Stirling 数。