形式陈述

集合 $X$$X$ 的划分是一个块族 $\mathcal P$$\mathcal{P}$，其中每个块都是 $X$$X$ 的非空子集，不同块两两不交，且所有块的并为 $X$$X$。当 $X=\varnothing$$X=\varnothing$ 时约定唯一划分为 $\mathcal P=\varnothing$$\mathcal{P}=\varnothing$；当 $X\ne\varnothing$$X\ne \varnothing$ 时，划分族本身必非空。每个等价关系 $\sim$$\sim$ 的等价类构成划分；反之，给定划分，令两个元素同属一块即可得到等价关系。这给出划分与等价关系的一一对应。划分间可按细化排序：$\mathcal P\preceq\mathcal Q$$\mathcal{P}⪯\mathcal{Q}$ 若 $\mathcal P$$\mathcal{P}$ 的每块包含于 $\mathcal Q$$\mathcal{Q}$ 的某块。

直觉

划分把集合分成互不重叠、无遗漏的组；等价关系则从元素对角度说“哪些对象应被视为同类”，两种视角完全等价。

例子与边界

整数按模 3 同余分成三个剩余类。$\{\{1,2\},\{3\}\}$$\{\{1,2\},\{3\}\}$ 是 $\{1,2,3\}$$\{1,2,3\}$ 的划分；允许空块或让元素同时出现在两块都违反定义。单块划分最粗，所有单元素块的划分最细。集合覆盖不要求不交，因此不一定是划分。聚类输出常被视为划分，但软聚类允许重叠或概率成员资格，已超出该定义。

推论与应用

集合划分连接商集、并查集、组合计数和聚类；第二类 Stirling 数正是有限集合按块数划分的计数。

参考资料

• Eric Lehman, F. Thomson Leighton, and Albert R. Meyer, Mathematics for Computer Science, rev. 2018，Parts I–V。
• Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 8th ed., McGraw-Hill, 2019，Chs. 1–8。