格

格要求任意两元素都有最佳共同上界与最佳共同下界，因此允许把“合并信息”和“提取共同信息”作为内部运算。上界很多时只选最小者，下界很多时只选最大者；存在某个上界远远不够。格不必是全序，恰恰常用来组织多条不可比较分支。

幂集 $\mathcal{P}(S)$ 按包含排序是格，$A\wedge B=A\cap B$、$A\vee B=A\cup B$。正整数按整除排序也是格，交为最大公因数，并为最小公倍数。一般偏序集未必是格：两个元素可能没有共同上界，或有多个不可比较的极小上界。

在四元素“菱形”偏序 $0<a,b<1$ 中，$a$ 与 $b$ 不可比，但仍有 $a\wedge b=0$、$a\vee b=1$，说明格不要求全序。相反，若偏序中两个元素有两个互不可比的极小共同上界，那么它们没有最小上界，该偏序便不是格；“共同上界存在”不够。

偏序公理库偏序Partial order · Partially ordered set满足自反、反对称和传递性的关系。通过唯一的 join 与 meet 升级为格，幂集中的并与交公理库集合运算Set operations · Union, intersection, difference用逻辑条件逐元素定义并、交、差、补与对称差，并扩展到集合族。给出标准模型，链与反链公理库链与反链Chain and antichain偏序集中任意两元素可比的子集与任意两不同元素不可比的子集。描述其中的可比层次。有限格自动有顶元和底元；无限格却未必是完备格公理库完备格Complete lattice · Complete ordered lattice任意子集都具有上确界和下确界，从而包含顶元、底元并支持任意族合流的格。，因为完备性要求任意子集、而不只是任意二元组都有上确界和下确界。

布尔代数、子空间格和类型子类关系都使用 join/meet 组织组合结构。单调数据流分析公理库单调数据流分析Monotone dataflow analysis · Monotone framework · Data-flow equations在控制流图上以单调 transfer 和合流方程求解前向或后向程序事实。还把控制流合流点解释为抽象事实的 join，并在完备格上借Knaster–Tarski 不动点定理公理库Knaster–Tarski 不动点定理Knaster-Tarski fixed-point theorem · Tarski fixed-point theorem完备格上的单调自映射之全部不动点构成完备格，并具有规范的最小与最大不动点。刻画方程解；transfer、worklist 与收敛策略属于分析层，不能从二元格运算本身推出。加入分配律、补元或完备性后，会得到更强的代数结构与相应定理。