形式陈述

非空偏序集 $(L,\le)$$(L,\le )$ 称为格，若任意 $x,y\in L$$x,y\in L$ 都存在最大下界（交）与最小上界（并），分别记为

$$ x\wedge y, \qquad x\vee y. $$$$x\wedge y,x\vee y.$$

等价地，格可代数化为带两个二元运算的集合，满足交换律、结合律、幂等律和吸收律：

$$ x\wedge(x\vee y)=x, \qquad x\vee(x\wedge y)=x. $$$$x\wedge (x\vee y)=x,x\vee (x\wedge y)=x.$$

这里的“格”是序理论 lattice，不是欧氏空间中由整数线性组合形成的几何格点集合。

直觉

格要求任意两个对象都有一个最紧的共同下界和最松的共同上界，因而能系统表达“合取/析取”“交/并”式组合。

例子与边界

幂集 $\mathcal P(S)$$\mathcal{P}(S)$ 按包含排序是格，$A\wedge B=A\cap B$$A\wedge B=A\cap B$、$A\vee B=A\cup B$$A\vee B=A\cup B$。正整数按整除排序也是格，交为最大公因数，并为最小公倍数。一般偏序集未必是格：两个元素可能没有共同上界，或有多个不可比较的极小上界。

推论与应用

格用于布尔代数、逻辑、数据流分析、类型层级与固定点理论。有限格自动有顶元和底元；无限格未必完备，完备格要求任意子集而非仅任意二元组都有上确界和下确界。

参考资料

• Eric Lehman, F. Thomson Leighton, and Albert R. Meyer, Mathematics for Computer Science, rev. 2018，§§7.3–7.4。
• Garrett Birkhoff, Lattice Theory, 3rd ed., American Mathematical Society, 1967，Ch. I。