形式陈述

对集合 $A,B$$A,B$，定义

$$ A\cup B=\{x:x\in A\lor x\in B\},\quad A\cap B=\{x:x\in A\land x\in B\},\quad A\setminus B=\{x:x\in A\land x\notin B\}. $$$$A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\},A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\},A\setminus B=\{x:x\in A\wedge x\notin B\}.$$

相对于固定全集 $U$$U$，补集为 $A^{\mathsf c}=U\setminus A$$A^{\mathsf{c}}=U\setminus A$；任意指标族还可定义并集与交集。

直觉

这些运算把逻辑连接词搬到集合层：并对应“或”，交对应“且”，补对应“非”。因此集合恒等式常是命题逻辑恒等式的外延版本。

例子与边界

若 $A=\{1,2\}$$A=\{1,2\}$、$B=\{2,3\}$$B=\{2,3\}$，则 $A\cup B=\{1,2,3\}$$A\cup B=\{1,2,3\}$、$A\cap B=\{2\}$$A\cap B=\{2\}$、$A\setminus B=\{1\}$$A\setminus B=\{1\}$。De Morgan 律为 $(A\cup B)^{\mathsf c}=A^{\mathsf c}\cap B^{\mathsf c}$$(A\cup B{)}^{\mathsf{c}}=A^{\mathsf{c}}\cap B^{\mathsf{c}}$。补集依赖所选全集，未指定论域时不能视为绝对运算。

推论与应用

拓扑对任意并与有限交封闭，$\sigma$$\sigma$-代数对补和可数并封闭，概率加法公式也直接来自并交分解。

参考资料

• Paul R. Halmos, Naive Set Theory, 1960; Dover reprint 2017, §§4–5。
• Richard Hammack, Book of Proof, 3rd ed., 2018, §§1.5–1.8。