概率核（Markov 核）

形式陈述 ​

设 $(S,\mathcal{S})$、$(T,\mathcal{T})$ 为可测空间。概率核（或 Markov 核）是映射

$$K:S\times \mathcal{T}⟶[0,1]$$

满足两项条件：固定 $x\in S$ 时，$A\mapsto K(x,A)$ 是 $(T,\mathcal{T})$ 上的概率测度；固定 $A\in \mathcal{T}$ 时，$x\mapsto K(x,A)$ 是 $\mathcal{S}$-可测函数。若 $S,T$ 有限，核由行和为 $1$ 的非负矩阵 $K_{xy}$ 表示，但定义不要求源、目标相同，也不要求状态有限。

任意可测函数 $f:S\to T$ 诱导确定性核 $K_f(x,A)={\mathbf{1}}_A(f(x))$。若 $K$ 从 $S$ 到 $T$，$L$ 从 $T$ 到 $U$，它们的复合定义为

$$(KL)(x,A)={\int }_{T}L(y,A)K(x,dy),$$

表示先按 $K(x,\cdot )$ 采样 $y$，再按 $L(y,\cdot )$ 采样输出。对 $S$ 上测度 $\mu$，还可定义 $(\mu K)(A)={\int }_{S}K(x,A)\mu (dx)$；可测性条件正是让这些积分继续成为合法测度所必需的接口。

直觉 ​

普通函数给每个输入一个确定输出，概率核给每个输入一整份输出分布。第二变量的测度性质保证“这确实是一份概率”，第一变量的可测性保证输入随机变化时能够积分、复合。有限转移矩阵只是把这个接口写在坐标表格中；核本身更像一条带随机性的可测箭头。

例子与边界 ​

有限状态 Markov 链的转移矩阵是典型核：若状态为晴、雨，矩阵每一行分别给定明天两种天气的条件概率。离散无记忆信道也一样，但输入字母表和输出字母表可以不同；矩阵不必是方阵。这说明“Markov 核”不是“方形随机矩阵”的同义词。

逐点指定概率分布还不够。令 $S=[0,1]$ 带 Borel $\sigma$-代数，取一个非 Borel 集 $V\subseteq S$，目标空间为 $\{0,1\}$，并规定输入落在 $V$ 时输出恒为 $1$，否则恒为 $0$。对每个固定 $x$，这都是合法 Dirac 概率；但 $K(x,\{1\})={\mathbf{1}}_V(x)$ 不可测，所以这一分布族不是概率核，也无法对一般输入分布定义一致的输出律。

推论与应用 ​

正则条件分布公理库条件分布Conditional distribution · Regular conditional distribution给定观测值后随机量的概率律，以及它与原联合分布相容的核表示。就是以观测值为输入的概率核，并通过积分恒等式与联合分布相容。一般状态Markov 链公理库Markov 链Markov chain未来条件分布在给定当前状态后与更早历史无关的随机过程。用从状态空间到自身的核描述一步转移，核复合给多步转移；信道则以输入符号为源、输出符号为目标，容量和率失真理论都建立在这一方向性之上。确定性算法是 Dirac 核的特例，随机化算法则直接由核表示，因此“随机过程一步”和“随机程序一步”可使用同一组合语言。

参考资料

• Olav Kallenberg, Foundations of Modern Probability, 3rd ed., Springer, 2021, Ch. 1, kernels and kernel products.
• MIT OpenCourseWare, 6.436J Fundamentals of Probability, lectures on conditional distributions and transition kernels.