概率核（Markov 核） | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $(S,\mathcal S)$ 、 $(T,\mathcal T)$ 为可测空间。概率核（或 Markov 核）是映射

K:S\times\mathcal T\longrightarrow[0,1]

满足两项条件：固定 $x\in S$ 时， $A\mapsto K(x,A)$ 是满足Kolmogorov 概率公理的概率测度；固定 $A\in\mathcal T$ 时， $x\mapsto K(x,A)$ 是可测函数。若 $S,T$ 有限，核由行和为 $1$ 的非负矩阵 $K_{xy}$ 表示，但定义不要求源、目标相同，也不要求状态有限。

任意可测函数 $f:S\to T$ 诱导确定性核 $K_f(x,A)=\mathbf1_A(f(x))$ 。若 $K$ 从 $S$ 到 $T$ ， $L$ 从 $T$ 到 $U$ ，它们的复合定义为

(KL)(x,A)=\int_T L(y,A)\,K(x,dy),

表示先按 $K(x,\cdot)$ 采样 $y$ ，再按 $L(y,\cdot)$ 采样输出。对 $S$ 上测度 $\mu$ ，还可定义 $(\mu K)(A)=\int_S K(x,A)\mu(dx)$ ；可测性条件正是让这些积分继续成为合法测度所必需的接口。

直觉

普通函数给每个输入一个确定输出，概率核给每个输入一整份输出分布。第二变量的测度性质保证“这确实是一份概率”，第一变量的可测性保证输入随机变化时能够积分、复合。有限转移矩阵只是把这个接口写在坐标表格中；核本身更像一条带随机性的可测箭头。

例子与边界

有限状态 Markov 链的转移矩阵是典型核：若状态为晴、雨，矩阵每一行分别给定明天两种天气的条件概率。离散无记忆信道也一样，但输入字母表和输出字母表可以不同；矩阵不必是方阵。这说明“Markov 核”不是“方形随机矩阵”的同义词。

逐点指定概率分布还不够。令 $S=[0,1]$ 带 Borel $\sigma$ -代数，取一个非 Borel 集 $V\subseteq S$ ，目标空间为 $\{0,1\}$ ，并规定输入落在 $V$ 时输出恒为 $1$ ，否则恒为 $0$ 。对每个固定 $x$ ，这都是合法 Dirac 概率；但 $K(x,\{1\})=\mathbf1_V(x)$ 不可测，所以这一分布族不是概率核，也无法对一般输入分布定义一致的输出律。

推论与应用

正则条件分布就是以观测值为输入的概率核，并通过积分恒等式与联合分布相容。一般状态Markov 链用从状态空间到自身的核描述一步转移，核复合给多步转移；信道则以输入符号为源、输出符号为目标，容量和率失真理论都建立在这一方向性之上。确定性算法是 Dirac 核的特例，随机化算法则直接由核表示，因此“随机过程一步”和“随机程序一步”可使用同一组合语言。

参考资料

Olav Kallenberg, Foundations of Modern Probability, 3rd ed., Springer, 2021, Ch. 1, kernels and kernel products.
MIT OpenCourseWare, 6.436J Fundamentals of Probability: Lecture Notes, conditional distributions and transition kernels, accessed 2026.

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