充分性的因子分解定理

统计量把样本空间切成一条条纤维。分解成立时，沿同一纤维移动只会改变 $h(x)$，所有参数的似然同时乘上相同倍数；不同参数之间的相对证据保持不变。跨纤维移动才会通过 $g_{\theta }$ 改变参数比较。

这一定理的力量在于把条件概率问题变成代数整理。验证时应先写完整联合密度与支持，再把所有含参数的项收集到 $g_{\theta }(T(x))$；把含参数因子塞入 $h$，或先删去参数依赖支持，都会使判据失去含义。

有限样本空间中，这个消去过程可完整写成

分母为零的 $t$ 属于条件分布版本可任意指定的零概率情形，不应拿来否定充分性。

对实验室重复读数 $X_1,\dots ,X_n\stackrel{iid}{\sim }N(\mu ,{\sigma }^2)$，若 ${\sigma }^2$ 已知，则

利用

可写成

因此 $T=\sum _i{X}_i$ 对位置参数充分。若 $\mu$ 与 ${\sigma }^2$ 都未知，参数依赖还通过 $\sum _i{X}_i^2$ 进入，摘要必须扩为 $(\sum _i{X}_i,\sum _i{X}_i^2)$。模型一扩大，原统计量立即可能不再充分。

右删失指数寿命数据也能直接分解。观察 $(Y_i,{\mathrm{\Delta }}_i)$，若删失独立且其分布不含故障率 $\lambda$，则与 $\lambda$ 有关的联合密度为

所以 $T=(\sum _i{\mathrm{\Delta }}_i,\sum _i{Y}_i)$ 充分：故障总数与总暴露时间共同保留率参数信息。只保留其中一项会遗漏另一种似然变化。

边界与失败情形 ​

共同支配是适用条件。若模型含无法由同一 $\sigma$-有限测度统一支配的分布，密度版本不能直接使用；充分性仍可从共同条件核或充分 $\sigma$-代数定义判断。

密度等式只需几乎处处成立，但不可数参数族中的逐参数零集并集未必仍是零集。因而需要共同版本，或把结论明确写成相应的版本化陈述；这个技术点在有限参数族中常被有限并集自动化解。

一次分解只认证充分性。它既不认证最小充分公理库最小充分统计量Minimal sufficient statistic能由任何其他充分统计量可测地恢复的充分统计量，代表样本中的最粗充分划分。，也不认证完备公理库完备统计量Complete statistic · Completeness统计量分布族的期望算子具有唯一性：全参数零均值的可积函数只能几乎处处为零。；完整样本甚至总能取 $T(x)=x$、$g_{\theta }(T)=p_{\theta }(x)$、$h=1$，却没有任何压缩。

参数依赖支持并不会阻止因子分解。Uniform$(0,\theta )$ 的联合密度含 ${\theta }^{-n}\mathbf{1}\{x_{(n)}\le \theta \}$，指示因子只经最大值进入，所以 $X_{(n)}$ 充分。忽略指示函数只看光滑部分，会错误地认为数据根本没有进入参数项。

更换共同支配测度时，密度乘上的 Radon–Nikodym 因子只依赖 $x$，可吸收到 $h$，充分性保持不变。若所谓换测度引入了参数因子，实际已改变模型表示所依赖的共同结构，不能据此移动数据的参数依赖。

独立样本的密度乘积常把数据压缩成若干和，这正是指数族公理库统计指数族Exponential family · Natural exponential family密度的参数依赖通过自然参数与统计量内积进入，并由对数配分函数归一化的分布族。产生固定维自然充分统计量的机制。继续研究最小充分性时，可比较两样本 $x,y$ 的似然比 $p_{\theta }(x)/p_{\theta }(y)$ 是否与 $\theta$ 无关，从而判断它们是否应位于同一最粗充分纤维。

因子分解只认证模型信息的保留，不评价统计量的计算成本、数值稳定性或估计风险。后续 Rao–Blackwell 化利用充分性降低给定规则的凸风险，仍需另行指定估计目标与损失。