充分性的因子分解定理

形式陈述 ​

设样本空间 $(\mathcal{X},\mathcal{A})$ 上的模型 $\{P_{\theta }:\theta \in \mathrm{\Theta }\}$ 被同一 $\sigma$-有限测度 $\mu$ 支配，并选定密度 $p_{\theta }=d{P}_{\theta }/d\mu$。令 $T:(\mathcal{X},\mathcal{A})\to (\mathcal{T},\mathcal{B})$ 可测。若存在非负可测函数 $h:\mathcal{X}\to [0,\mathrm{\infty })$，并且对每个 $\theta$ 都有非负可测函数 $g_{\theta }:\mathcal{T}\to [0,\mathrm{\infty })$，使

$$p_{\theta }(x)=g_{\theta }(T(x))h(x)$$

对所有 $\theta$ 在同一个 $\mu$-零集外成立，则 $T$ 对模型充分公理库充分统计量Sufficient statistic给定该统计量后，样本剩余条件分布不再依赖未知参数的数据压缩。。这是 Fisher–Neyman 因子分解定理中不含歧义的充分方向：$h$ 对整个模型通用，参数依赖只通过 $g_{\theta }(T(x))$ 进入。

正向证明可构造给定 $T=t$ 的条件分布。直观上，在纤维 $\{x:T(x)=t\}$ 内，参数因子 $g_{\theta }(t)$ 对所有 $x$ 相同，归一化时消去，只留下由 $h$ 决定的条件比例。因此条件于 $T$ 后的样本分布不含 $\theta$。

逆向“充分推出因子分解”需要固定条件分布与密度的版本。一个常用完整版本要求样本空间和统计量空间都是标准 Borel 空间，充分性由同一个、不随 $\theta$ 改变的正则条件核 $K(t,dx)$ 对所有参数共同见证，并且所选共同支配密度能取到相容的可测版本；此时 $T$ 的边缘密度吸收进 $g_{\theta }(t)$，纤维内的参数无关部分进入 $h(x)$，得到上述分解。若没有这些共同版本与可测性条件，本页只使用已经明确陈述的充分方向，而不以“常用正则条件”代替定理假设。

直觉 ​

似然的参数依赖若只看 $T(x)$，那么两个具有相同 $T$ 的样本对任何参数提供完全相同的相对证据。原始数据在同一纤维内的差异只由 $h(x)$ 决定，因而与待推断参数无关。

定理把条件分布定义转成观察联合密度即可检查的代数结构。$g_{\theta }$ 可以随参数改变，$h$ 必须对所有参数通用；把含参数的因子塞入 $h$ 会让判据失去内容。

在有限样本空间上，纤维计算可完全展开：给定 $T=t$ 后，$x$ 的条件概率与 $g_{\theta }(t)h(x)$ 成比例，分母对纤维求和也带同一 $g_{\theta }(t)$，约去后得到 $h(x)/\sum _{y:T(y)=t}h(y)$。这个明确消去过程正是参数无关性的来源。

例子与推导 ​

对 $X_1,\dots ,X_n\stackrel{iid}{\sim }N(\mu ,{\sigma }^2)$，若 ${\sigma }^2$ 已知，则

$$p_{\mu }(x)=(2\pi {\sigma }^2{)}^{-n/2}\exp [-\frac{1}{2{\sigma }^2}\sum _i(x_i-\mu {)}^2].$$

利用

$$\sum _i(x_i-\mu {)}^2=\sum _i{x}_i^2-2\mu \sum _i{x}_i+n{\mu }^2,$$

可写成

$$g_{\mu }\left(\sum _i{x}_i\right)=\exp [\frac{\mu }{{\sigma }^2}\sum _i{x}_i-\frac{n{\mu }^2}{2{\sigma }^2}],$$$$h(x)=(2\pi {\sigma }^2{)}^{-n/2}\exp [-\frac{1}{2{\sigma }^2}\sum _i{x}_i^2].$$

因此 $T=\sum _i{X}_i$ 充分。若 $\mu$ 与 ${\sigma }^2$ 都未知，参数依赖还通过 $\sum _i{X}_i^2$ 进入，充分统计量应扩为 $(\sum _i{X}_i,\sum _i{X}_i^2)$。

边界与失败情形 ​

共同支配是假设，不是符号便利。若模型包含彼此奇异且无法由同一 $\sigma$-有限测度统一支配的分布，密度因子分解版本不能直接使用，但充分性仍可由条件分布定义。

密度等式只需 $\mu$-几乎处处成立。不同参数若各自选择不同零测集版本，必须确认能取共同版本；在不可数参数族中，逐参数“几乎处处”不自动给统一零集。

因子分解证明充分，不证明最小充分或完备。统计量维数看起来小，也不能跳过分解或条件分布验证。相反，完整样本总能以 $g_{\theta }(T)=p_{\theta }(x)$、$h=1$ 分解，虽充分却没有压缩。

参数依赖支持如 Uniform$(0,\theta )$ 仍可应用支配版本：指示因子 $\mathbf{1}\{x_{(n)}\le \theta \}$ 必须留在 $g_{\theta }(T)$ 中。忽略支持只看光滑密度部分，会选错统计量。

离散模型可取计数测度，连续模型常取 Lebesgue 测度，混合离散—连续模型则可构造相应和测度。支配测度可以更换：密度会乘一个与 $\theta$ 无关的 Radon–Nikodym 因子，该因子吸收到 $h(x)$，所以充分结论不变。若换测度引入了含参数因子，说明并非在表示同一共同支配结构。

推论与应用 ​

独立样本的密度乘积经常把数据压缩成若干和，这正是指数族出现固定维充分统计量的来源。因子分解也能快速比较模型扩大前后哪些额外数据特征变得必要。

定理只说明参数信息的保留，不评价统计量的计算成本、数值稳定性或估计风险；这些是后续决策问题。

参考资料

• George Casella and Roger L. Berger, Statistical Inference, 2nd ed., Duxbury, 2002，§6.2。
• Erich L. Lehmann and George Casella, Theory of Point Estimation, 2nd ed., Springer, 1998，§1.5。
• Robert V. Hogg, Joseph W. McKean, and Allen T. Craig, Introduction to Mathematical Statistics, 8th ed., Pearson, 2019，Ch. 7。