充分统计量

充分性允许丢掉原数据，只要求丢掉的细节在给定摘要后按一条参数无关规律分布。若有人告知 $T=t$，还可用同一个核 $K(t,\cdot )$ 模拟那些细节，却不会因此获得新的参数信息。这个性质总是相对于完整模型族；扩大候选分布时，原有压缩常会失去充分性。

恒等映射 $T(X)=X$ 总是充分，说明“充分”本身不承诺压缩率。实用统计量希望在保留模型区分能力的同时降低维数或结构复杂度；看起来维数小既不是充分性的定义，也无法替代条件分布验证。

设不同监测站在已知暴露时长 $t_i>0$ 内记录事故数，条件独立且 $X_i\sim \mathrm{Poisson}(t_i\lambda )$。联合质量函数为

取 $T=\sum _i{X}_i$，可写成

所以 $T$ 充分。更具体地，在 $T=t$ 条件下，

该条件分布与 $\lambda$ 无关。总事故数保留共同发生率的信息；事件如何按已知暴露时长分配，只反映设计比例。例如两个站点的暴露时长比为 $1:3$，总事故数为 $2$，则事故分配 $(0,2),(1,1),(2,0)$ 的条件概率为 $9/16,6/16,1/16$。无论共同发生率 $\lambda$ 为多少，这三项都相同。若各站还有未知站点效应，这个条件分布就会含新参数，$T$ 对扩大的模型不再充分。

对共同成功率的 Bernoulli 样本，成功次数 $S=\sum _i{X}_i$ 同理充分。给定 $S=s$ 后，所有含 $s$ 个一的序列条件概率均为 $1/(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{s})$。若每位受试者具有不同未知成功概率，仅保留总数便会掩盖个体结构，充分结论随模型改变而消失。

边界与失败情形 ​

样本均值对任意 IID 模型都存在，却不会自动充分。对 $X_i\sim \mathrm{Unif}(0,\theta )$，似然为

参数依赖通过样本最大值进入。例如 $(1,3)$ 与 $(2,2)$ 的均值均为 $2$，在 $\theta =2.5$ 时前者似然为零而后者为正；在 $\theta =4$ 时两者都为 $1/16$。因此相同均值下的样本区分仍随参数改变；均值无法保留这种区分，最大值则能。这个例子也表明参数依赖支持并不妨碍充分性，关键是把支持指示完整保留下来。

无偏、低方差和充分处在不同层级。充分统计量可能没有被指定估计任何目标；无偏估计量也可能只使用样本的一小部分。Rao–Blackwell 改进之所以要求充分性，正是为了让条件期望成为对所有参数通用的可实施规则，不能由“方差较小”反推充分。

密度因子分解版本要求共同支配与相容版本。无支配模型仍可从共同条件核或充分 $\sigma$-代数定义出发；找不到统一密度只说明这项代数判据不可直接使用，不说明统计量不充分。

最小充分性理路最小充分统计量Minimal sufficient statistic能由任何其他充分统计量可测地恢复的充分统计量，代表样本中的最粗充分划分。还要求该统计量能由任何其他充分统计量决定，代表最粗的充分划分；完备性理路完备统计量Complete statistic · Completeness统计量分布族的期望算子具有唯一性：全参数零均值的可积函数只能几乎处处为零。则禁止基于它构造非平凡的全参数零均值函数。这两项都不会由充分性自动推出。

若 $T$ 充分，任何基于完整样本的随机化决策都可先观察 $T$，再按参数无关的 $K(T,\cdot )$ 重建剩余随机性，从而复制原规则在每个参数下的风险。这不要求模拟出的原数据等于真实那份数据，只要求每个 $\theta$ 下的分布正确；充分性保留的是实验的决策能力，而不是全部事实记录。这给“关于该实验族没有丢失决策信息”一个操作性含义。

在参数与样本空间都有限时，这个决策解释还有逆向结论：确定性压缩$T(X)$与原实验双向随机模拟等价理路Blackwell统计实验比较Blackwell comparison of experiments · Blackwell–Sherman–Stein theorem · Blackwell informativeness order对有限统计实验，证明参数无关的随机后处理存在，当且仅当原实验在全部有限决策问题中都不更差，并给出核与分离损失两类证书。，当且仅当$T$充分。逆向证明可取任一全支持先验，比较压缩前后的参数后验向量；条件均值与平方范数等号迫使后验不变，再由Bayes公式恢复共同条件核。若只要求近似保留，则缺陷距离理路Le Cam缺陷距离与决策误差Le Cam deficiency distance · Deficiency of statistical experiments · Randomization theorem for finite experiments在有限实验间最小化统一随机模拟的最坏总变差误差，用有界决策风险的精确对偶及原始—对偶证书核验近似信息保留。必须把同一重建核的误差对全部参数统一控制；某个先验下平均误差小还不够。

在指数族中，样本常通过固定维自然统计量进入联合密度，从而得到与样本量无关维数的充分压缩。Rao–Blackwell 定理理路Rao–Blackwell 定理Rao–Blackwell theorem借充分统计量上的条件期望消除参数无关随机性，并以 Jensen 不等式逐参数降低凸损失风险。把已有估计量条件化到 $T$ 上，在凸损失下不增加风险；再加入完备性，Lehmann–Scheffé 定理理路Lehmann–Scheffé 定理Lehmann–Scheffé theorem完备充分统计量上的二阶可积无偏函数，在全参数空间同时成为唯一最小方差无偏估计。才给出唯一 UMVU 结论。

充分统计量的边缘分布通常仍含参数；这与辅助统计量理路辅助统计量Ancillary statistic抽样分布在整个参数空间中保持不变、因而不携带待估参数分布信息的统计量。的整条抽样分布无参数形成清晰对照。若一个统计量同时完备且充分，Basu 定理进一步给出它与任意辅助统计量独立；“没有进入某个充分统计量”本身还不足以证明辅助性。