Lehmann–Scheffé 定理

证明 ​

任取一个二阶可积无偏估计量 $U$。由Rao–Blackwell 定理理路Rao–Blackwell 定理Rao–Blackwell theorem借充分统计量上的条件期望消除参数无关随机性，并以 Jensen 不等式逐参数降低凸损失风险。和充分性的共同条件核，构造同一个可实施函数

它保持无偏且方差不增。现在 $U^{\ast }(T)$ 与 $g(T)$ 都是 $T$ 的函数，并对同一目标无偏，故

对所有参数成立。完备性迫使 $U^{\ast }(T)=g(T)$ 几乎处处。因此

在每个参数点成立，完成 UMVU 证明。

这个唯一性还覆盖所有 UMVU 估计量。若 $V$ 也是 UMVU，它的 Rao–Blackwell 化必等于 $g(T)$；两条 UMVU 性质又迫使 ${\mathrm{Var}}_{\theta }(V)={\mathrm{Var}}_{\theta }\{g(T)\}$。全方差分解的等号条件于是给 $V=E(V\mid T)=g(T)$ 几乎处处。证明链中，充分性负责把任意候选投影进 $T$，完备性识别该投影，方差等号再消除投影外的残余随机性。

若不同时间段的独立事故数 $X_i\sim \mathrm{Poisson}(\lambda )$，则总数 $T=\sum _i{X}_i\sim \mathrm{Poisson}(n\lambda )$ 完备且充分。因为

$T/n=\overline{X}$ 是单位时间事故率 $\lambda$ 的唯一 UMVU 估计。这个结论比较的是所有二阶可积无偏规则，包括只看某一时段或以额外随机币扰动的规则。

再估计下一单位时间零事故的概率 $P_{\lambda }(X_{\mathrm{new}}=0)=e^{-\lambda }$。从容易想到的无偏估计 $U=\mathbf{1}\{X_1=0\}$ 出发；给定 $T$ 后，$X_1\mid T\sim \mathrm{Binomial}(T,1/n)$，因此对 $n\ge 2$，Rao–Blackwell 化为

Poisson 概率生成函数核对其期望：

所以 $g(T)$ 是该非线性目标的唯一 UMVU。构造路线“先找粗糙无偏估计，再条件化”比猜测 $T$ 的函数更系统；完备性负责的只是最终唯一性认证。

边界与失败情形 ​

定理只在二阶可积无偏类中比较方差。带小偏差的收缩、截断或投影规则可能有更低 MSE，非平方损失下也可能选择不同估计；这些准则对应不同的估计决策问题。

目标必须先落在无偏期望算子的值域中。若不存在任何无偏估计量，就要改用其他估计准则；完备性解决的是已有无偏表示的唯一性。

只有充分性时，Rao–Blackwell 化能降方差，却可能留下多个不同的无偏 $T$ 函数；只有完备性时，基于 $T$ 的无偏表示虽唯一，却无法把任意完整样本规则投影成参数无关的同一函数。两条假设各自承担不可替换的一步。

二阶矩不存在时，最小方差比较没有定义。一阶可积足以借完备性证明基于 $T$ 的无偏表示唯一，却不足以使用方差分解完成 UMVU 论证。

把参数空间限制到有限点集或弯曲子族后，充分性可以保留，完备性却可能失去：要求期望为零的参数点变少了，原来无法同时满足的零期望条件可能有新的非零解。

寻找 UMVU 的标准路线分三步：用因子分解找到充分统计量，单独证明它完备，再把一个容易构造的无偏估计量对该统计量条件化。定理随后一次性完成全无偏类的方差比较，无需逐个候选优化。

满秩自然指数族的自然参数空间若包含全维开集，其自然统计量就是完备充分统计量，为这条构造路线提供了一类常用模型。

不同参数下的几乎处处唯一可能对应不同零集。标准支配模型通常选择共同版本表达规则；两条公式若只在整个模型都不可能取到的统计量值上不同，代表同一估计量。若两条规则在某个参数下以正概率给出不同结果，它们就不是该意义下的同一估计量。

若应用重罚极端误差、要求输出服从参数约束，或允许少量偏差换取稳定性，应回到明确的损失与风险理路估计量、决策规则与风险Estimator and decision rule · Statistical risk从观测到行动的可实施规则，以及在逐参数、Bayes 与最坏情形量词下的期望损失。。此时应按相应风险比较候选规则。