统计模型与参数

模型像一张关于“哪些可观测规律仍可能成立”的地图，参数化给地图选取坐标，目标泛函则指定要读取的量。推断程序比较候选分布并控制指定损失下的误差；坐标换了，分布族和科学问题未必改变，误差表达却可能随 Jacobian 或损失尺度改变。

每个模型也都是一组排除性假设。正态位置模型不只声称均值存在，还固定尾部与对称形状；所谓非参数模型放宽分布形状后，仍可能要求独立、共同分布、光滑性或有限矩。模型越大，结论通常越稳健但精度可能越低；模型越小，额外结构能提高精度，也扩大失配风险。

以临床试验的二元疗效为例，单组 Bernoulli 模型取 $\mathcal{X}=\{0,1\}$、$\mathrm{\Theta }=[0,1]$，并令

对 $n$ 位独立受试者，$P_{\theta }^{\otimes n}(x_{1:n})={\theta }^{\sum x_i}(1-\theta {)}^{n-\sum x_i}$。参数 $\theta$ 同时是疗效概率与均值；若有治疗组和对照组，模型要扩为 $({\theta }_1,{\theta }_0)$，科学目标可以是风险差 ${\theta }_1-{\theta }_0$ 或风险比 ${\theta }_1/{\theta }_0$。同一分布族上不同目标会带来不同的边界与损失尺度。

实验室仪器的重复测量常以正态位置—尺度模型作为工作模型：

二维参数 $(\mu ,\sigma )$ 决定完整分布；若只关心系统偏移，目标泛函是 $\psi (P_{\mu ,\sigma })=\mu$，而 $\sigma$ 仍决定能把偏移估到多准。若仪器偶发重尾误差，正态族可能失配，换成只假定有限方差的模型会改变可用推断，而不只是更换估计算法。

删失数据说明样本空间为何必须从观测机制出发。设潜在故障时间为 $T$、随访截止时间为 $C$，实际数据是 $(Y,\mathrm{\Delta })=(min\{T,C\},\mathbf{1}\{T\le C\})$。即使给定 $T$ 的生存分布，若不同时说明 $C$ 及其与 $T$ 的关系，就还没有得到 $(Y,\mathrm{\Delta })$ 的统计模型。

边界与失败情形 ​

模型与推断规则分属两个层级。声明 $X_i\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ 只规定候选分布；样本均值、最大似然和 Bayesian 后验是在其上建立的不同规则。算法表现再好，也不能反过来证明候选族包含真实机制。

参数化还可能不可识别。混合模型交换两个成分标签后产生相同分布，原始标签参数便不唯一；数据仍可能识别混合分布或不依赖标签的目标。模型失配是另一条边界：真实分布若不在 $\mathcal{P}$ 中，即使参数化单射，估计程序也通常只收敛到某个由准则定义的伪真参数。

共同支配测度也不属于参数，却决定“密度”公式的含义。同一个符号表达在计数测度和 Lebesgue 测度下代表不同分布；潜在完整数据与现实可观测数据更不能共用一个未说明的样本空间。

参数模型通常指 $\mathrm{\Theta }\subseteq {\mathbb{R}}^k$ 且 $k$ 固定；半参数模型含有限维目标和无限维干扰部分；非参数模型则直接以函数或分布为参数，或允许有效维数随样本增长。这些名称描述候选族的结构，不自行保证某种收敛速度。

接下来的层级可以按一条清晰路线阅读：可识别性公理库统计模型的可识别性Identifiability of a statistical model · Parameter identifiability观测分布能否唯一决定参数或目标，以及对称、观测机制与弱识别造成的边界。先判断目标能否由分布决定；似然公理库似然函数Likelihood function固定可观测数据后，由共同支配密度定义、仅在参数间作相对比较的似然函数。比较已观测数据下的参数；统计量与抽样分布公理库统计量与抽样分布Statistic · Sampling distribution样本的可测数据摘要，以及该摘要在指定统计模型与重复抽样设计下的推前分布。描述数据压缩及其重复抽样波动；决策风险公理库估计量、决策规则与风险Estimator and decision rule · Statistical risk从观测到行动的可实施规则，以及在逐参数、Bayes 与最坏情形量词下的期望损失。再评价从数据到行动的规则。充分性公理库充分统计量Sufficient statistic以参数无关的条件分布保留整个模型区分能力的数据压缩，并连接因子分解与决策等价。处理压缩是否保留模型信息，不能代替上述任何一个层级。