极小极大风险

minimax 值描述一场设计在先、世界选择在后的对抗：算法必须在不知道真实参数时制定一套统一规则，风险却由最不利参数评价。上界需要交出一条具体算法并控制其最坏风险；下界则要证明每条算法都会在某些难以区分的参数上付出代价。

以 Bernoulli 均值估计为例，取 $P_p=\mathrm{Bernoulli}(p)$、$p\in [0,1]$ 和平方损失 $(\hat{p}-p{)}^2$。样本均值 $\hat{p}$ 无偏，因此它的风险可以直接计算：

这只说明 ${\mathfrak{R}}_m([0,1])\le 1/(4m)$，因为 minimax 还允许其他估计器；要证明同阶下界，可选两个距离约 $1/\sqrt{m}$ 的参数，使其样本分布仍难区分，但错误动作产生约 $1/m$ 平方损失。

Bayes 风险对先验平均，minimax 对最坏参数。选择任何先验后，所有算法的最坏风险至少为其先验平均风险，因此 Bayes 问题可给 minimax 下界，但两者不相等。还应区分绝对风险、超额风险、错误概率和局部 minimax，它们使用不同损失与参数邻域。

若先固定一个估计器再报告其最坏风险，得到的是该算法的风险上界，不是 minimax 值；若交换成 $\underset{\theta }{sup}\underset{A}{inf}$，算法仿佛知道真实 $\theta$ 后才选择，值常退化为零。Inf–sup 的顺序正是“先设计统一程序，再面对未知世界”的数学表达。

两点检验把任意估计器转成区分两个相近参数的检验，给出最基本的 minimax 下界；Fano 方法把两个点扩展成大型 packing，Assouad 引理则把难题组织成超立方坐标。三者都以“分布难区分而正确行动相距很远”为核心，适合不同几何结构。

上界与下界同阶时，便得到问题在指定损失、参数类和样本协议下的最优统计速率。局部 minimax、Bayes 风险和超额风险改变了最坏集合或基准，引用结果前必须先对齐这些量词。