一阶矩方法

非负随机变量的期望是所有结果大小的加权平均，因此若平均值小于某阈值，不可能每个结果都达到该阈值。另一常用形式把 $X$ 记为坏对象数：若 $\mathbb{E}X<1$，由于 $X$ 取非负整数，必有某个结果满足 $X=0$。方法只使用一阶平均，不关心坏事件彼此怎样相关。

随机排列中固定点数 $X=\sum _i{I}_i$，每个 $\mathbb{E}{I}_i=1/n$，故 $\mathbb{E}X=1$，无需固定事件独立。随机二染色图顶点时，单边成为跨边的概率为一半，所以期望割边数为 $m/2$，存在至少含 $m/2$ 条边的割。条件 $\mathbb{E}X<1$ 必须严格；若等于一，可能每个样本恰有一个坏对象。期望小只能给存在性和粗尾界，不能自动给高概率集中；后者通常需二阶矩方法公理库二阶矩方法Second moment method用方差或二阶矩控制随机变量偏离均值的概率。或Chernoff 界公理库Chernoff 方法与 Chernoff 界Chernoff method · Chernoff bounds对随机变量施加指数变换并优化参数，以获得指数级尾概率上界。等额外结构。若坏结构带权且最小正权不为一，应使用相应阈值。

随机给 $n$ 个顶点独立二染色，令 $X$ 为某超图中单色边数。若第 $e$ 条边大小为 $k_e$，则

只要该和小于 $1$，就存在没有单色边的染色。边事件可以高度依赖，线性期望仍成立；但当期望远大于一时，方法本身不能据此断言不存在零坏事件结果。

概率方法公理库概率方法Probabilistic method通过证明随机选取对象具有正概率满足性质来推出确定性对象存在。用随机实验证明确定性对象存在，期望公理库期望Expectation · Expected value实值或复值随机变量关于概率测度的 Lebesgue 积分，概括加权平均与总体质量平衡。的线性性让一阶矩可拆成指标变量之和。Erdős–Rényi 模型公理库Erdős–Rényi 随机图Erdős–Rényi random graph · G(n,p) · G(n,m)在固定标号顶点集上独立采样边或均匀采样固定边数的随机图模型。中的边数、孤立点和固定子图计数都能直接使用这套分解；当仅有均值不足以证明 $X>0$ 或接近均值时，需要二阶矩方法公理库二阶矩方法Second moment method用方差或二阶矩控制随机变量偏离均值的概率。、局部引理或浓缩不等式补充相关性信息。

随机坏目标计数也可解释有限类中的 Occam 直觉：给每个候选规则定义“它在样本上看似完美但总体很差”的指标，坏规则数 $X$ 满足 $\mathbb{E}X=\sum _h\text{Pr}(h\text{ 坏且幸存})$，若该和小于 $1$，便存在没有坏幸存者的样本结果。反方向的No-Free-Lunch公理库学习的 No-Free-Lunch 原理No-Free-Lunch theorem for learning若允许任意未见点标注，有限样本不能对所有分布与目标可靠预测。证明会对随机目标求学习器平均错误，再抽出一个确定坏目标。后一论证只给存在性或期望下界；仅凭一阶矩，不能自动得到定量的高概率失败或完整 minimax 风险公理库极小极大风险Minimax risk在模型族最坏参数上评价算法风险，再在所有允许算法中寻找最优值。下界。