形式陈述

设 $(X,\mathcal{A})$、$(Y,\mathcal{B})$ 为可测空间。函数 $f:X\to Y$ 称可测，若

$$f^{-1}(B)\in \mathcal{A}\text{对每个 }B\in \mathcal{B}.$$

当 $Y=\mathbb{R}$ 配 Borel $\sigma$-代数时，只需检验集合 $\{x:f(x)>a\}$（或 $\{f<a\}$、$\{f\le a\}$）对所有 $a\in \mathbb{R}$ 可测。可测函数的复合可测；实值可测函数列的逐点极限，以及可数族的逐点上确界、下确界和适当代数组合仍可测。任意不可数族的逐点上确界则未必可测。

直觉

可测性只要求函数能把目标空间中允许提问的事件拉回为定义域中可赋测度的事件。它不要求几何光滑，而要求事件结构兼容。

例子与边界

连续映射在 Borel 空间之间可测，因为开集原像开；反之可测函数可高度不连续。Dirichlet 函数 $1_{\mathbb{Q}}$ 是 Borel 可测却处处不连续。若目标 $\sigma$-代数改变，可测性也会改变；因此“函数可测”必须附带两个可测结构。把函数在零测集上任意修改后，在完备测度空间中仍可测；在未完备空间中，零测集的不可测子集可能破坏这一结论。

推论与应用

可测函数是 Lebesgue 积分、随机变量、条件期望和几乎处处收敛的基本对象；简单函数逼近把其复杂值域还原为可数事件。

参考资料

• Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., Wiley, 1999，§2.1, measurable functions and closure under limits。
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1987，Ch. 1, measurable functions and Borel measurability。