Kolmogorov 扩张定理

有限维分布像一本无限表格的所有有限窗口。相容性要求大窗口缩回小窗口时，看到的统计规律与原先给小窗口的规律完全相同。只要这些窗口来自良好的可测状态空间，定理保证它们确实可以拼成一张无限表格的共同概率律。

结论只构造坐标层面的联合分布。它不凭空创造路径连续性、右连续性、可微性或可测的时间参数依赖；这些性质涉及乘积 $\sigma$-代数之外更细的路径空间结构，需要 Kolmogorov 连续性定理等额外估计。有限窗口一致是存在过程的条件，不是路径正则性的条件。

唯一性也要按承载的 $\sigma$-代数理解。对不可数 $I$，${\mathcal{S}}^{\otimes I}$ 由只看有限多个坐标的柱集生成，可能严格小于乘积拓扑的完整 Borel $\sigma$-代数。定理唯一确定柱事件的概率，不能借此给所有可能的路径集合自动赋值。

取 $S=\{0,1\}$，对每个有限 $J\subseteq I$ 令 ${\mu }_J$ 是 $\{0,1{\}}^J$ 上的均匀分布：

从 $K$ 投影到 $J$ 时，每个 $x_J$ 有 $2^{|K|-|J|}$ 个扩展，因此边缘质量为

相容性成立。扩张得到独立公平比特过程；例如不论 $I$ 是否可数，事件 $X_{i_1}=1,X_{i_2}=0,X_{i_3}=1$ 的概率都是 $1/8$。

不相容指定不可能被修复。若令 ${\mu }_{\{1\}}$ 为公平 Bernoulli 分布，却令 ${\mu }_{\{1,2\}}={\delta }_{(0,0)}$，后者第一坐标边缘是 ${\delta }_0$，不等于 ${\mu }_{\{1\}}$；若共同过程存在，同一 $X_1$ 将同时拥有两个不同分布，立即矛盾。

给定中心高斯有限维分布，协方差矩阵 $C_J=(C(s,t){)}_{s,t\in J}$ 若对每个有限 $J$ 半正定并在投影下相容，定理会构造高斯过程的坐标律。但即使 $C(s,t)$ 连续，样本路径是否连续仍需增量矩界；坐标过程可能只有某个可修改为连续的版本，规范乘积空间上的原始路径未必连续。

独立无限序列、Markov 过程、高斯过程与随机场都可由有限维律进入。对 Markov 模型，初始分布与转移核先给出任意有限时间网格的联合律，再由一致性得到全过程；对高斯过程，只需验证每个有限协方差矩阵半正定和坐标相容。

定理还说明“有限维分布相同”在乘积可测空间上足以确定过程律，但不足以确定所选版本的路径性质。研究连续路径空间 $C([0,1])$ 或 càdlàg 空间 $D([0,1])$ 时，必须另外证明构造出的律集中在该子空间，才能使用其更强的拓扑与弱收敛工具。