高斯过程

高斯过程可以看作“无限维高斯向量”：每次只能抽取有限个坐标，但无论怎样抽取，所得截面都保持高斯几何。均值给出轨迹的中心轮廓；核同时编码各点波动大小和共同移动方式。半正定条件来自方差恒非负，因为上式正是 $\mathrm{Var}(\sum _i{a}_i{X}_{t_i})$。因此它不是技术附注，而是让所谓协方差真正可能存在的代数约束。

核在对角线附近的行为控制短距离增量的均方尺度：

这个量很小只说明均方接近；要推出几乎处处连续版本，通常还需更高阶矩界并应用连续性判据。高斯性使高阶增量矩可由方差控制，却仍不能把“核连续”简单等同于“路径连续”。

取独立标准正态 $Z_0,Z_1$，令 $X_t=Z_0+t{Z}_1$，$t\in [0,1]$。这是秩为二的高斯过程，$m(t)=0$，

对任意 $a_i,t_i$，二次型等于 $(\sum _i{a}_i{)}^2+(\sum _i{a}_i{t}_i{)}^2\ge 0$，半正定性可直接复算。每条路径其实是随机直线；尽管指标集不可数，随机性只占两个方向。这也说明半正定而非严格正定才是正确要求。

在非负时间 $s,t\ge 0$ 上，另一个核心核是 $K(s,t)=min(s,t)$。它满足

配合零均值产生Brownian 运动理路Brownian 运动Brownian motion · Wiener process · 布朗运动 · Wiener 过程从零出发、具有独立平稳高斯增量与几乎处处连续路径的连续时间随机过程。的有限维律。连续路径还来自增量矩估计，而不只是这条积分恒等式。

只检查 $K(t,t)\ge 0$ 不够。两点集上的矩阵 $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ 对角线为正，却在向量 $(1,-1)$ 上给出 $-2$，不可能是协方差矩阵。另一边界是高斯边缘不足以推出高斯过程：令 $Z\sim N(0,1)$、$\epsilon$ 为独立公平符号，取 $X_1=Z$、$X_2=\epsilon Z$。两个坐标各自标准正态，但 $|X_1|=|X_2|$ 几乎处处，联合律集中在两条直线上，并非二维高斯。更直接地，$X_1+X_2$ 有方差 $2$，却以概率 $1/2$ 等于零；非退化高斯分布没有原子，故它违反全线性组合的定义。

观测有限向量 $Y=(X_{t_1},\dots ,X_{t_n})+ϵ$，其中 ${\sigma }^2>0$，独立噪声 $ϵ\sim N(0,{\sigma }^{2}I)$。对新点 $t_{\ast }$，联合高斯条件公式给出

条件方差为 $K(t_{\ast },t_{\ast })-k_{\ast }^{\mathrm{\top }}(K_n+{\sigma }^{2}I{)}^{-1}{k}_{\ast }$。这条链从核构造联合律，再由条件高斯律得到回归预测与不确定度；加入 ${\sigma }^{2}I$ 同时刻画观测噪声并保证矩阵可逆。

固定 Brownian 终点的Brownian 桥理路Brownian 桥Brownian bridge · Pinned Brownian motion将 Brownian 运动的终点钉住后，剩余波动是协方差为 min(s,t)−st/T 的连续 Gaussian 桥。给出一个连续路径例子：条件均值成为端点连线，剩余核为 $min(s,t)-st/T$，不同时间段的增量因终点约束而负相关。

有限坐标线性组合的均方极限仍保留高斯性。具体地，若 $Z_n$ 是有限个 $X_t$ 的线性组合，且 $E|Z_n-Z{|}^2\to 0$，则Cauchy–Schwarz 不等式理路Cauchy–Schwarz 不等式Cauchy–Schwarz inequality · 柯西–施瓦茨不等式内积的绝对值不超过两向量范数之积，且等号精确刻画线性相关。使均值和二阶矩收敛；同时，对每个实数 $u$，

把各 $Z_n$ 的高斯特征函数理路特征函数（概率）Characteristic function of a distribution随机变量的复指数矩，也就是概率分布的 Fourier 变换。取极限，得到 $Z$ 的高斯特征函数，允许极限方差为零。若有限个输出各有这样的均方逼近，对其任意线性组合重复论证，便得到联合高斯。积分和均方导数可在各自近似确实均方收敛时使用这条规则；仅在某种路径集合上写出一个未说明连续性和可测性的线性算子，不能自动继承它。时间序列中的平稳高斯过程、空间随机场与贝叶斯非参数模型都沿用同一逻辑：先验证核半正定，再处理所需路径性质，最后才进行条件化或极限运算。

若有限观测天然按行、列组成数据表，矩阵正态模型理路矩阵正态分布Matrix normal distribution · Matrix-variate normal distribution在列优先向量化约定下，以可分离的行列协方差描述联合正态矩阵，并明确密度、线性变换与参数尺度不识别。额外要求协方差可分离成行因子与列因子的 Kronecker 乘积。它是一个有结构限制的联合高斯模型；一般高斯截面的协方差未必能这样分解。