形式陈述

对概率空间 $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$$(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mathbb{P})$ 上的随机变量 $X$$X$，其期望定义为

$$ \mathbb E[X]=\int_\Omega X\,d\mathbb P, $$$$\mathbb{E}[X]={\int }_{\mathrm{\Omega }}Xd\mathbb{P},$$

只要该 Lebesgue 积分有定义。若 $X\ge0$$X\ge 0$，期望可取 $+\infty$$+\mathrm{\infty }$；实值 $X$$X$ 满足 $\mathbb E[|X|]<\infty$$\mathbb{E}[|X|]<\mathrm{\infty }$ 时称为可积，此时期望为有限实数。若 $X$$X$ 取可数多个值，则期望为 $\sum_x x\,\mathbb P(X=x)$$\sum _{x}x\mathbb{P}(X=x)$；若 $X$$X$ 有密度 $f_X$$f_X$，则为 $\int_{\mathbb R}xf_X(x)\,dx$${\int }_{\mathbb{R}}x{f}_X(x)dx$，前提都是相应和式或积分有定义。

直觉

期望是按概率权重形成的平均位置，而不必是一次试验可能取得的值。对可积的独立同分布重复试验，大数定律进一步把它与样本均值的长期行为联系起来；积分定义本身同时覆盖离散、连续和混合分布。

例子与边界

Bernoulli$(p)$$(p)$ 随机变量满足 $\mathbb E[X]=p$$\mathbb{E}[X]=p$。公平六面骰子的期望为 $3.5$$3.5$，虽然不可能掷出 $3.5$$3.5$。标准 Cauchy 随机变量的正部与负部期望都为无穷，因此期望未定义；利用对称性写成 $0$$0$ 是不合法的 $\infty-\infty$$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ 抵消。

推论与应用

对可积随机变量，期望满足线性性

$$ \mathbb E[aX+bY]=a\mathbb E[X]+b\mathbb E[Y], $$$$\mathbb{E}[aX+bY]=a\mathbb{E}[X]+b\mathbb{E}[Y],$$

且不要求 $X,Y$$X,Y$ 独立。期望支撑方差、矩、风险、随机算法分析和概率极限定理。

参考资料

• Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995, Chapter 4, §21.
• Sheldon Ross, A First Course in Probability, 10th ed., Pearson, 2019, §§4.3, 5.2, 5.6.3, and 7.9.