测度析取定理

形式陈述 ​

设 $X,Y$ 是标准 Borel 空间，$\mu$ 是 $X\times Y$ 上的 Borel 概率测度，$\nu =({\pi }_Y{)}_{\mathrm{\#}}\mu$ 是第二坐标投影的推前边缘测度公理库推前测度Pushforward measure · Image measure · 像测度沿可测映射把源测度搬到目标空间，使目标集合的质量等于其原像的质量。。测度析取定理断言，存在从 $Y$ 到 $X$ 的概率核 $K(y,dx)$，使对所有 Borel 集 $A\subseteq X$、$B\subseteq Y$，

$$\mu (A\times B)={\int }_{B}K(y,A)\nu (dy).$$

更一般地，对任意非负可测函数 $h:X\times Y\to [0,\mathrm{\infty }]$，以及任意 $\mu$-可积函数 $h$，都有

$${\int }_{X\times Y}h(x,y)\mu (dx,dy)={\int }_Y[{\int }_{X}h(x,y)K(y,dx)]\nu (dy).$$

$K(y,\cdot )$ 是给定 $Y=y$ 时 $X$ 的正则条件概率公理库正则条件概率Regular conditional probability把给定信息后的所有事件条件概率同时选择为一个逐点概率测度核。，并在 $\nu$-几乎处处意义下唯一：若 $K^{\prime }$ 也满足等式，则存在一个 $\nu$-零集 $N$，使 $K(y,\cdot )=K^{\prime }(y,\cdot )$ 对所有 $y\notin N$ 成立。

若 $X,Y$ 还是第二可数的局部紧 Hausdorff 空间，且 $\mu$ 是Radon 概率测度公理库Radon 测度Radon measure · 拉东测度局部紧 Hausdorff 空间上对紧集有限且具有内外正则性的 Borel 测度。，上述结论就是常用的 Radon 版本；仅有 Radon 性而无标准 Borel 或相应可数性，并不足以调用本页定理。

映射版本如下。设 $\pi :Z\to Y$ 可测，$m$ 是标准 Borel 空间 $Z$ 上的概率测度，$\nu ={\pi }_{\mathrm{\#}}m$。则存在核 $y\mapsto m_y$，使

$$m(A)={\int }_Y{m}_y(A)\nu (dy),$$

且对 $\nu$-几乎每个 $y$，$m_y$ 集中在纤维 ${\pi }^{-1}(\{y\})$ 上。联合空间版本取 $Z=X\times Y$、$\pi ={\pi }_Y$ 即得。

证明机制 ​

把坐标随机元素 $(X,Y)$ 放在概率空间 $(X\times Y,\mu )$ 上。标准 Borel 假设保证 $X$ 给定 $Y$ 的正则条件分布存在，得到核 $K$。条件期望的积分匹配先给出矩形 $A\times B$ 上的公式。固定 $K$ 后，满足积分公式的集合类对单调极限封闭，而可测矩形生成乘积 $\sigma$-代数；单调类定理便把等式扩展到所有非负可测 $h$。

唯一性先在 $X$ 的一个可数生成 $\pi$-系统上逐集使用条件期望唯一性，再把可数多个异常零集合并。对共同零集外的每个 $y$，两概率测度在生成类上一致，因而在全部 Borel 集上一致。可数生成性正是把“每个集合各有一个零集”升级为“整个核共用一个零集”的关键。

直觉

联合测度描述质量如何铺在 $X\times Y$ 上。析取先沿 $Y$ 方向统计每条纤维附近出现得多频繁，得到边缘 $\nu$；再对每个可见的 $y$，用 $K(y,\cdot )$ 描述该纤维内部的相对分布。外层选择纤维，内层选择纤维中的点，两步积分恢复全部联合质量。

这不是把一个数机械写成乘积。$K(y,\cdot )$ 随 $y$ 变化，并且必须可测地变化，才能进行外层积分。若联合分布有密度，公式看似熟悉的“联合密度等于边缘密度乘条件密度”只是析取的一种坐标表示；即使任何一层没有 Lebesgue 密度，概率核形式仍然成立。

纤维上的条件测度只对边缘几乎处处有信息。一个从不被 $\nu$ 看到的 $y$ 不参与重建联合测度，所以该处可以另选任意概率而不改变积分。这不是定理的缺陷，而是条件化在零概率取值上的固有不可辨识性。

例子与边界

令 $(X,Y)$ 在三角形

$$T=\{(x,y):0<x<y<1\}$$

上具有常数联合密度 $2$。第二坐标边缘密度为

$$f_Y(y)={\int }_0^{y}2dx=2y,0<y<1.$$

给定 $Y=y$ 时，$X$ 在 $(0,y)$ 上均匀，所以

$$K(y,dx)=\frac{1}{y}{\mathbf{1}}_{(0,y)}(x)dx.$$

例如

$$P(X\le \frac{1}{4},Y\ge \frac{1}{2})={\int }_{1/2}^{1}K(y,[0,\frac{1}{4}])2ydy={\int }_{1/2}^1\frac{1}{4y}2ydy=\frac{1}{4}.$$

这与直接对矩形 $0<x\le 1/4,1/2\le y<1$ 积分密度 $2$ 完全一致。

在 $y=0$ 处，边缘密度为零，公式没有规定 $K(0,\cdot )$；可把它设成 ${\delta }_0$、均匀分布或其他概率，只要保持整体可测。因而条件密度 $1/y$ 在 $0$ 的发散不需要“补一个正确极限”，该点根本不影响析取。

一般可测空间上，逐纤维写下一族概率并不保证它对 $y$ 可测，也不保证存在能够同时匹配所有集合的版本。标准 Borel 或适当 Radon 假设是存在性核心。对 $\sigma$-有限而非概率的测度，还要给边缘和条件质量选择合适规范；不能未经说明沿用“每个 $m_y$ 都是概率”的版本。

推论与应用

Bayes 公式是有共同密度时的析取计算：若 $f_{X,Y}(x,y)$ 与 $f_Y(y)>0$ 存在，则 $K(y,dx)$ 可取密度 $f_{X,Y}(x,y)/f_Y(y)$。析取定理的价值在于它不以共同 Lebesgue 密度为前提，离散、连续和奇异分布可以用同一个核公式处理。

Markov 转移、隐藏变量模型、混合分布、充分统计量和随机几何中的纤维积分都依赖这一结构。Fubini 定理从预先给定的乘积测度开始，析取则从任意联合测度中恢复一个边缘与条件核；两者的迭代积分外形相近，输入问题却不同。

参考资料

• Olav Kallenberg, Foundations of Modern Probability, 3rd ed., Springer, 2021, Ch. 8, disintegration and conditional distributions.
• Vladimir I. Bogachev, Measure Theory, Vol. II, Springer, 2007, Ch. 10, conditional measures and disintegrations.