正则条件概率

普通条件期望一次只处理一个随机变量；对每个事件 $A$ 分别取 $E[{\mathbf{1}}_A\mid \mathcal{G}]$，会得到许多只在各自零集之外定义的函数。若这些零集随 $A$ 改变，就没有理由保证固定 $\omega$ 后，$A\mapsto K(\omega ,A)$ 仍是一份概率测度。正则条件概率完成的是一次“版本同步”：把所有事件的条件值组织成同一个可测概率核。

$K(\omega ,\cdot )$ 可以理解为在信息状态 $\omega$ 下对剩余不确定性的完整概率律，但 $\omega$ 的作用只通过 $\mathcal{G}$ 可见。若两个样本点无法被 $\mathcal{G}$ 中的事件区分，所选核通常也应给出同样条件规律；写成 $Q(Y(\omega ),\cdot )$ 时，这种信息压缩最直观。

“逐点概率”不等于“逐点唯一”。条件期望只在 $P$-几乎处处意义下确定，所以核可在一个 $P$-零集上任意修改，只要仍保持核性质。对连续观测，单个取值 $Y=y$ 往往概率为零；条件律在某个指定 $y$ 上的值可能来自所选版本，而不是由朴素比值唯一强迫。

掷一枚公平六面骰，$\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$，令 $\mathcal{G}$ 只记录奇偶性。对偶数样本点 $\omega \in \{2,4,6\}$，定义

对奇数点则定义 $K(\omega ,A)=|A\cap \{1,3,5\}|/3$。例如

对任意只由奇偶组成的 $G$，直接求和可验证 $P(A\cap G)={\int }_{G}K(\omega ,A)dP$。核在同一奇偶类上恒定，因为信息无法区分类内点。

若一个 $\mathcal{G}$-原子 $C$ 满足 $P(C)=0$，公式对 $C$ 内的核值没有约束：积分时这部分完全消失。可以在 $C$ 上放任意概率测度，只要整体可测。因而写 $P(A\mid C)=P(A\cap C)/P(C)$ 在零概率原子上没有意义，正则核也不会把 $0/0$ 变成一个天然唯一的数。

逐事件版本可能造成可加性陷阱。对每个 $A$ 单独修改 $E[{\mathbf{1}}_A\mid \mathcal{G}]$ 的零集，虽然每个函数仍是合法版本，却可能在某个共同样本点上破坏 $K(\omega ,A\cup B)=K(\omega ,A)+K(\omega ,B)$。标准 Borel 的可数生成结构使关键一致性能够在一个共同零集外同时落实。

对任何有界或非负可测函数 $f$，核积分

给出 $E[f\mid \mathcal{G}]$ 的一个版本；先对指标函数成立，再由单调类扩展。于是一个正则条件概率同时编码全部条件期望，而不仅是一族事件概率。

给定随机元素 $Y$ 后的条件分布公理库条件分布Conditional distribution · Regular conditional distribution给定观测值后随机量的概率律，以及它与原联合分布相容的核表示。、Markov 过程的转移规律、Bayesian 后验以及隐藏变量模型中的 E 步，都可写成概率核。Disintegration 定理进一步把联合测度表示为“边缘测度乘以条件核”，并说明核只在边缘测度几乎处处意义下唯一。