形式陈述

设 $X$$X$ 可积，$\mathcal G$$\mathcal{G}$ 是概率空间中的子 $\sigma$$\sigma$-代数。条件期望 $\mathbb E[X\mid\mathcal G]$$\mathbb{E}[X\mid \mathcal{G}]$ 是任一满足以下条件的随机变量 $Y$$Y$：$Y$$Y$ 对 $\mathcal G$$\mathcal{G}$ 可测，且对每个 $A\in\mathcal G$$A\in \mathcal{G}$，

$$ \int_A Y\,d\Pr=\int_A X\,d\Pr. $$$${\int }_{A}Yd\text{Pr}={\int }_{A}Xd\text{Pr}.$$

它由 Radon–Nikodym 定理保证存在，并仅在几乎处处意义下唯一。若 $\mathcal G=\sigma(Z)$$\mathcal{G}=\sigma (Z)$，常写 $\mathbb E[X\mid Z]$$\mathbb{E}[X\mid Z]$。塔式性质为 $\mathbb E[\mathbb E[X\mid\mathcal G]]=\mathbb E[X]$$\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \mathcal{G}]]=\mathbb{E}[X]$，且若 $\mathcal H\subseteq\mathcal G$$\mathcal{H}\subseteq \mathcal{G}$，则 $\mathbb E[\mathbb E[X\mid\mathcal G]\mid\mathcal H]=\mathbb E[X\mid\mathcal H]$$\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \mathcal{G}]\mid \mathcal{H}]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$。

直觉

在只允许使用 $\mathcal G$$\mathcal{G}$ 所包含信息时，用一个 $\mathcal G$$\mathcal{G}$-可测变量概括 $X$$X$ 的平均值；它在每个可观察事件上的总质量都与 $X$$X$ 一致。

例子与边界

若有限分割 $B_1,\ldots,B_m$$B_1,\dots ,B_m$ 生成 $\mathcal G$$\mathcal{G}$，则在 $\Pr(B_i)>0$$\text{Pr}(B_i)>0$ 的块上，条件期望等于 $\mathbb E[X\mathbf1_{B_i}]/\Pr(B_i)$$\mathbb{E}[X{\mathbf{1}}_{B_i}]/\text{Pr}(B_i)$。若 $X$$X$ 与 $\mathcal G$$\mathcal{G}$ 独立，则 $\mathbb E[X\mid\mathcal G]=\mathbb E[X]$$\mathbb{E}[X\mid \mathcal{G}]=\mathbb{E}[X]$ 几乎处处。对概率为零的单点事件，简单比值公式无定义；条件密度或正则条件概率需要额外结构，不能由上述随机变量唯一给出每一点版本。

推论与应用

条件期望是鞅、Bayes 推断、最小均方预测和随机过程的核心。当 $X\in L^2$$X\in L^2$ 时，它是 $L^2$$L^2$ 中到 $\mathcal G$$\mathcal{G}$-可测平方可积子空间的正交投影，因此给出在现有信息下的最佳平方损失预测。

参考资料

• Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995，Ch. 5, conditional expectation and Radon–Nikodym construction。
• Rick Durrett, Probability: Theory and Examples, 5th ed., Cambridge University Press, 2019，Ch. 4, conditional expectation and martingales。