可选停止定理

在每个确定时刻，鞅的下一步增量在当前信息下平均为零。停时根据已经看到的路径决定是否继续，因此截断在有限时间内的停止规则仍保留这一条件均值关系。

无限等待涉及另一层问题：停止后的数值逐条路径收敛时，其平均值是否也收敛。一致可积性限制小概率事件上残留的巨大贡献，让有限阶段的期望等式传到极限。下面的两个随机游走例子分别展示了尾部受控和尾部贡献持续存在的情况。

对从 $S_0=0$ 出发的对称随机游走 $S_n$，令 $\tau$ 为首次到达 $-a$ 或 $b$ 的时刻，其中 $a,b$ 为正整数。停止前后状态被限制在有限区间，且停时几乎处处有限；对截断停时应用定理并控制极限可得

从而 $\mathbb{P}(S_{\tau }=b)=a/(a+b)$。对应的下边界命中概率为 $b/(a+b)$；距离与命中概率通过期望恒等式联系起来。

若只在首次到达 $1$ 时停止，即 $\tau =inf\{n\ge 0:S_n=1\}$，则 $\tau <\mathrm{\infty }$ 几乎处处且 $S_{\tau }=1$，而每个截断值仍满足 $E[S_{n\wedge \tau }]=0$。此时正部恰为 ${\mathbf{1}}_{\{\tau \le n\}}$，所以

负部逐条路径趋于零，期望却趋于 $1$：越来越少的未命中路径承担越来越大的负值。这直接说明停止族不一致可积，也解释了为何极限期望变成了 $1$。该停时的期望为无穷。

SR运行长度下界理路Shiryaev–Roberts 变点检测Shiryaev–Roberts detection · Shiryaev-Roberts procedure · SR 变点检测 · Generalized Shiryaev–Roberts procedure对每个可能改变起点的似然比求和，以带新增单位预算的递推监测变化，并通过有界停止证明平均误报等待下界。提供一个只需有界停止的例子。正确正常模型下$R_n-r-n$是鞅；在阈值停时$\tau$截断于$N$后，$r+\mathbb{E}(\tau \wedge N)=\mathbb{E}{R}_{\tau \wedge N}\ge A\mathbb{P}(\tau \le N)$。若$\tau =\mathrm{\infty }$有正概率，其扩展均值已为无穷；否则让$N$增大得到$\mathbb{E}\tau \ge A-r$。这不要求先声称$\mathbb{E}{R}_{\tau }=r+\mathbb{E}\tau$，因此不会把待证的尾部控制偷偷放进一般下界。

鞅理路鞅Martingale · Submartingale · Supermartingale在当前全部信息下，下一步条件均值等于当前值的可积适应过程。给出条件公平性，停时理路停时Stopping time · 停止时刻是否已经发生可由当前信息判断、因而不依赖未来的随机时刻。确保规则不读取未来，可选停止定理再补上尾部控制。三者结合可计算随机游走命中概率、期望访问次数和序贯检验的错误率，也能证明某些随机算法在自适应停止下仍保持无偏。

双边命中问题还可算出等待时间。对鞅 $S_n^2-n$ 在 $\tau \wedge N$ 停止，有 $E[\tau \wedge N]=E[S_{\tau \wedge N}^2]\le max(a,b{)}^2$。单调收敛定理理路单调收敛定理Monotone convergence theorem非负可测函数单调递增时，积分极限等于极限函数积分。先给出 $E\tau <\mathrm{\infty }$，再利用停止位置有界令 $N\to \mathrm{\infty }$，得到

同一边界条件因此同时确定了命中概率与平均等待时间。