可选停止定理

形式陈述 ​

设 $(M_n,{\mathcal{F}}_n{)}_{n\ge 0}$ 是离散时间鞅，$\tau$ 是停时。首先，对每个确定的 $N$，停止过程 $(M_{n\wedge \tau })$ 仍是鞅，因此

$$\mathbb{E}[M_{N\wedge \tau }]=\mathbb{E}[M_0].$$

若 $\tau \le N$ 几乎处处，则 $M_{N\wedge \tau }=M_{\tau }$，立即得到

$$\mathbb{E}[M_{\tau }]=\mathbb{E}[M_0].$$

无界停时需要额外控制。一组常用充分条件是停止族 $\{M_{n\wedge \tau }:n\ge 0\}$ 一致可积且 $\tau <\mathrm{\infty }$ 几乎处处；此时 $M_{n\wedge \tau }\to M_{\tau }$ 几乎处处，并可把极限移入期望。另一种离散版本假设存在常数 $C$ 使 $|M_n-M_{n-1}|\le C$ 几乎处处，同时 $\mathbb{E}\tau <\mathrm{\infty }$，也可推出上述结论。不同版本的条件不能任意拼接，结论必须与所用可积性假设匹配。

直觉 ​

鞅的公平性说，在每个确定时刻以前已知全部信息后，下一步的条件均值没有偏移。合法的停时只根据已经看到的路径作决定，因此停止本身不能系统性挑中未来的好运。然而“不能偷看未来”还不够：若允许无限等待或不断放大赌注，少数极端路径可能承担越来越大的数值，使有限阶段保持的期望在极限中失真。

证明的核心因此分成两层。第一层完全由停时性质保证：截断在 $N$ 以前的策略仍公平。第二层是分析问题：让 $N$ 趋于无穷时，是否有支配收敛、一致可积或有界增量与有限期望时间来封住尾部。可选停止定理真正限制的不是“何时停”这一句话，而是随机时间与极端取值共同造成的尾部风险。

例子与边界 ​

对对称随机游走 $S_n$，令 $\tau$ 为首次到达 $-a$ 或 $b$ 的时刻，其中 $a,b$ 为正整数。停止前后状态被限制在有限区间，且停时几乎处处有限；对截断停时应用定理并控制极限可得

$$0=\mathbb{E}{S}_{\tau }=-a\mathbb{P}(S_{\tau }=-a)+b\mathbb{P}(S_{\tau }=b),$$

从而 $\mathbb{P}(S_{\tau }=b)=a/(a+b)$。这不是“公平游戏不会输”的证明，而是把有界边界条件转成命中概率。

失败边界同样重要。令 $\tau =inf\{n\ge 0:S_n=1\}$。对称随机游走最终命中 $1$ 的概率为一，所以 $S_{\tau }=1$，但 $\mathbb{E}{S}_0=0$；停时无界且期望无限，不能直接套用结论。倍增赌注策略则展示另一种失败：每个有限阶段仍可公平，赌注却无界增长，极小概率路径携带巨大损失，阻止极限与期望交换。

推论与应用 ​

鞅公理库鞅Martingale · Submartingale · Supermartingale在当前全部信息下，下一步条件均值等于当前值的可积适应过程。给出条件公平性，停时公理库停时Stopping time · 停止时刻是否已经发生可由当前信息判断、因而不依赖未来的随机时刻。确保规则不读取未来，可选停止定理再补上尾部控制。三者结合可计算随机游走命中概率、期望访问次数和序贯检验的错误率，也能证明某些随机算法在自适应停止下仍保持无偏。

使用时应先写明选用的充分条件，再逐项验证，而不是在结论后附一句“满足技术条件”。如果目标只涉及有限时间，优先使用 $N\wedge \tau$ 的有界版本；真正需要送 $N\to \mathrm{\infty }$ 时，才检查一致可积或其他尾部条件。

参考资料

• David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991，Ch. 10, optional stopping。
• MIT 6.436J/15.085J, Fundamentals of Probability, Martingales and Optional Stopping lecture notes。