鞅

形式陈述 ​

给定滤过 $({\mathcal{F}}_n{)}_{n\ge 0}$。实值过程 $(M_n{)}_{n\ge 0}$ 若满足：

1. $M_n$ 对 ${\mathcal{F}}_n$ 可测；
2. $\mathbb{E}|M_n|<\mathrm{\infty }$；
3. 对每个 $n$，$$\mathbb{E}[M_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]=M_n\text{几乎处处},$$

则称其为相对于该滤过的鞅。把第三条的等号改为 $\ge$ 得到下鞅，改为 $\le$ 得到上鞅。迭代塔式性质可知，对 $m\ge n$，鞅满足

$$\mathbb{E}[M_m\mid {\mathcal{F}}_n]=M_n,$$

因而 $\mathbb{E}{M}_n$ 不随 $n$ 改变；但只有“期望恒定”远不足以推出鞅。

一个标准构造是 Doob 鞅：若 $X$ 可积，定义

$$M_n=\mathbb{E}[X\mid {\mathcal{F}}_n],$$

则适应性、可积性和条件期望公理库条件期望Conditional expectation相对于子 σ-代数可测并保持其事件上积分的随机变量。的塔式性质共同保证 $(M_n)$ 为鞅。它表示随着信息增加，对同一个终端量 $X$ 作出的连续更新。

直觉 ​

“公平游戏”不是说路径不会剧烈起伏，也不是说每步输赢独立，而是说在掌握当前全部可用信息后，下一步的条件平均仍是现有财富。过去可以强烈影响下一步分布，只要正负变化在条件平均上平衡即可。下鞅具有非负条件漂移，像平均上升的过程；上鞅则相反。滤过明确了玩家知道什么，同一数值过程换一套包含未来提示的信息后，可能不再公平。

例子与边界 ​

令 $M_0\in \mathbb{R}$ 为常数，${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ 相互独立，满足 $\mathbb{E}|{\xi }_k|<\mathrm{\infty }$、$\mathbb{E}{\xi }_k=0$，并令 $M_n=M_0+\sum _{k=1}^n{\xi }_k$，${\mathcal{F}}_n=\sigma ({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$。由于新增量与过去独立且均值为零，

$$\mathbb{E}[M_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]=M_n+\mathbb{E}[{\xi }_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]=M_n.$$

增量独立只是这个例子的充分机制，不是鞅定义要求。

仅有 $\mathbb{E}{M}_n$ 恒定并不够。取一个均值为零、非退化的 $Z$，令 $M_0=0,M_1=Z,M_2=-Z$，并用自然滤过；各时刻期望都为零，但 $\mathbb{E}[M_2\mid {\mathcal{F}}_1]=-Z\ne Z=M_1$。可选停止也不能从“公平”口号无条件推出：公平硬币赌博中每输一次就把下一注翻倍，直到首次获胜时净赚 $1$，停时几乎处处有限；然而停前可能背负 $2^n-1$ 的无界亏损，下注增量也无统一界，故停止后的期望为 $1$ 并不与初始财富 $0$ 矛盾，失败的是可选停止所需的一致可积或有界性条件。

推论与应用 ​

Doob 鞅把任意可积终端量沿信息时间线公理库滤过与适应过程Filtration · Adapted process · Natural filtration以递增 σ-代数表示信息积累，并刻画过程在每一时刻不使用未来信息。逐步显露，是概率论中把静态随机变量转为动态过程的基本接口。停时公理库停时Stopping time · 停止时刻是否已经发生可由当前信息判断、因而不依赖未来的随机时刻。允许沿随机时刻截取鞅，在附加条件下导出可选停止定理；有界鞅差则由 Azuma–Hoeffding 不等式公理库Azuma–Hoeffding 不等式Azuma-Hoeffding inequality · Azuma inequality有界鞅差之和偏离初值的概率具有高斯型指数上界。给出指数集中。鞅收敛定理把适当有界的公平过程连接到几乎处处收敛公理库几乎必然收敛Almost sure convergence除去一个零概率事件后，随机变量序列逐样本收敛。。在随机算法中，逐个暴露输入坐标得到的 Doob 鞅能度量每一步新增信息的影响；在金融模型中，风险中性定价也以贴现价格相对于市场滤过为鞅这一结构为核心。

参考资料

• David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991，Chs. 10–12, martingales and stopping times。
• MIT 6.436J / 15.085J, Fundamentals of Probability, “Martingales I,” lecture notes。
• MIT 15.070J, Advanced Stochastic Processes, martingale lecture notes。