半鞅

半鞅把运动拆成两种可控来源。$A$ 沿路径累积有方向的漂移，总变差有限，能用 Lebesgue–Stieltjes 方法积分；$M$ 的微小波动在条件均值上无漂移，虽然总变差通常无限，却能靠二次变差和局部化积分。两部分覆盖扩散、跳跃与随机系数所需的主要模型，同时仍让离散左端和极限稳定。

“最大自然积分器类”说的是一种稳定性结论：若要求简单可预测交易策略的积分对策略连续，积分器便不能超出半鞅。可预测性固定了每一小段的系数要在新增量发生前选择；好积分器条件则排除用越来越小的系数从剧烈路径中抽出不消失输出。

令 $W$ 为 Brownian 运动，取渐进可测过程 $b$ 满足 ${\int }_0^T|b_s|ds<\mathrm{\infty }$ 几乎处处，并定义

第一项是连续局部鞅，第二项的总变差为 ${\int }_0^T|b_s|ds$，故 $X$ 是连续半鞅。若 $b_s=\mu$，则 $X_t=W_t+\mu t$；从观测到的单条路径中，普通总变差不能分离 Brownian 波动，但规范分解与条件结构能把确定漂移识别出来。

每个适应有限变差 càdlàg 过程本身也是半鞅，取 $M=0$。例如单跳过程 $A_t=Y{\mathbf{1}}_{[\tau ,\mathrm{\infty })}(t)$ 在 $Y$ 为 ${\mathcal{F}}_{\tau }$-可测且有限时，总变差为 $|Y|$。若 $\tau$ 不可预测，$A$ 未必可预测；这正说明“半鞅”与“特殊半鞅的可预测漂移”不能混写。

连续、适应并不足够。令 $f(0)=0$，$f(t)=t\sin \left(1/t\right)$（$t>0$），并把 $X_t=f(t)$ 当作确定性过程。它在 $0$ 连续，但在零点附近每次振荡贡献同阶于相邻极值高度，累加成调和级数量级，故任意小邻域内总变差无限。在平凡滤过下，确定性局部鞅只能是常数；若 $X=M+A$，便迫使 $X-X_0=A$ 有有限变差，矛盾。因此它不是半鞅。分数 Brownian 运动在 $H\ne 1/2$ 时也不是半鞅，虽有连续高斯路径，经典 Itô 积分不能原样套用。

若 $X=M+A$ 且 $H$ 可预测并满足相应局部可积条件，则

右边分别用局部鞅积分与路径有限变差积分定义；分解虽可能不唯一，所得积分过程不可分辨。简单过程逼近在 ucp（每个紧时间区间上一致依概率）意义下给出稳定推广，并保持积分后的过程仍为半鞅。

光滑函数作用下半鞅仍是半鞅，Itô 公式明确给出新局部鞅、漂移与跳跃修正。随机微分方程的解因而可反复代入、停止和换元。金融数学中，若价格过程允许可预测简单策略且要求“不消失策略不产生非消失收益”的基本稳定性，半鞅性质也是无摩擦连续交易模型的结构门槛；超出这个类时，问题不只是少一条公式，而是积分本身可能对逼近方案不稳定。