连续时间鞅

离散鞅只在逐步时刻核对公平性，连续时间鞅要让任意早晚两刻之间都没有可预测的条件漂移。路径可以振荡、跳跃，方差也能增长；被固定的是当前信息下未来水平的平均值，而不是未来变化的大小。

càdlàg 路径可由稠密的有理时刻及右侧极限恢复，使时间网格上的估计能够传到整段轨道。右连续滤过满足 ${\mathcal{F}}_t=\bigcap _{u>t}{\mathcal{F}}_u$，将任意稍后时刻都已知道的信息纳入时刻 $t$，与从右侧逼近停时的过程相配合。

令 $W$ 为自然增广滤过下的 Brownian 运动，并设 $M_t=W_t^2-t$。对 $s<t$，由 $W_t=W_s+(W_t-W_s)$ 以及新增量独立、均值为零、方差为 $t-s$，

其路径连续且每时刻可积，因此是真正的连续鞅。相同机制给出 $\exp (\theta W_t-\frac{1}{2}{\theta }^{2}t)$：条件化后剩余增量的矩母函数恰好抵消 $-\frac{1}{2}{\theta }^2(t-s)$，故它也是正鞅。

条件均值比无条件均值包含更多信息。例如定义

它对 Brownian 滤过适应、路径在 $1$ 处有跳跃且 càdlàg，并满足 $E[X_t]=0$。但对 $s<1$，$E[X_1\mid {\mathcal{F}}_s]=-W_s\ne W_s=X_s$，所以不是鞅。若改用预先包含 $W_1$ 的扩张滤过，连原过程 $W_t$ 在 $t<1$ 时也失去鞅性质，显示滤过是定义数据的一部分。

对平方可积鞅，条件 Jensen 不等式使 $M_t^2$ 成下鞅；Doob 最大不等式理路Doob 最大不等式Doob maximal inequality · Doob Lp inequality用非负下鞅的终点尾部期望或鞅的终点 p 阶矩控制整个有限时间区间的最大值。先在有限时间网格上把终点二阶矩控制升级为路径最大值的界，再借 càdlàg 正则性传到整个有限区间。再结合闭鞅表示 $M_t=E[X\mid {\mathcal{F}}_t]$，其一致可积性理路一致可积性Uniform integrability · Uniformly integrable family一族可积随机变量在统一截断水平之外的绝对期望可以一致地趋于零。可控制时间极限；在整数时刻 $n\to \mathrm{\infty }$ 取样时，鞅的 L¹ 收敛定理理路鞅的 L¹ 收敛定理L1 martingale convergence theorem · Uniformly integrable martingale convergence · Closed martingale离散鞅一致可积当且仅当它在 L¹ 中收敛，也当且仅当它由一个可积随机变量的条件期望闭合。明确给出极限 $E[X\mid {\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}]$，其中 ${\mathcal{F}}_{\mathrm{\infty }}=\sigma (\bigcup _{t\ge 0}{\mathcal{F}}_t)$。

连续鞅的随机振荡由二次变差而非普通总变差计量。若连续局部鞅 $M$ 满足 $M_0=0$，且二次变差满足 $⟨M{⟩}_t=t$，Lévy 刻画定理理路Lévy 的 Brownian 刻画Lévy characterization theorem · Levy martingale characterization of Brownian motion连续局部鞅若以单位速度积累二次变差，就必定相对于原滤过具有独立的标准 Gaussian 增量。在通常条件下把它识别为 Brownian 运动；若 $⟨M{⟩}_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }$，Dambis–Dubins–Schwarz 定理理路Dambis–Dubins–Schwarz 时间变换Dambis-Dubins-Schwarz theorem · DDS theorem连续局部鞅以自身二次变差作为时钟，可表示成一条 Brownian 路径的随机时间变换。进一步把 $M$ 写成某个 Brownian 运动的随机时间变换。这条逻辑把一般连续噪声归约到标准噪声，也解释二次变差为何是随机积分中的自然时钟。