连续时间鞅 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $(\Omega,\mathcal F,(\mathcal F_t)_{t\ge0},P)$ 为滤过概率空间，通常假定滤过完备且右连续。实值过程 $M=(M_t)_{t\ge0}$ 称为连续时间鞅，若对每个 $t$ ， $M_t$ 为 $\mathcal F_t$ -可测、 $E|M_t|<\infty$ ，并且对所有确定时刻 $0\le s\le t$ ，

E[M_t\mid\mathcal F_s]=M_s\qquad P\text{-a.s.}

“连续时间”说的是指标集，不自动说明路径连续。标准理论通常选取 càdlàg 版本，即路径右连续且处处有左极限；若路径在一个共同概率一零集外连续，才称连续鞅。在通常条件下，具有右连续均值函数的下鞅有 càdlàg 修改；鞅的均值恒定，因而可用 Doob 正则化定理取得这种版本。修改只保证每个固定 $t$ 几乎处处相等，不可分辨版本则要求在同一零集外对全部 $t$ 相等，路径结论应使用后者。

条件恒等式对每对 $s,t$ 各自几乎处处成立。若已选 càdlàg 版本，可先在有理时刻取共同零集，再借右连续性把关系组织成适合停时论证的过程陈述。对有界停时 $\sigma\le\tau$ ，在相应可选采样条件下有 $E[M_\tau\mid\mathcal F_\sigma]=M_\sigma$ ；无界停时还需一致可积性、支配或其他控制，不能从逐时可积直接推出。

平方可积版本要求 $E[M_t^2]<\infty$ 。若对每个有限 $T$ ，族 $\{M_\tau:\tau\le T\}$ 在所有有界停时上统一可积，则称在 $[0,T]$ 上属于 class $D$ ；这一条件是把确定时刻关系安全传到一般停时和极限的常用桥梁。

每个真鞅又是局部鞅的严格特例：取确定性局部化停时 $\tau_n=n$ 即可；反向会因缺少一致可积控制而失败。这是对象分类，不应误写成定义连续时间鞅所需的前置。

直觉

离散鞅只在逐步时刻核对公平性，连续时间鞅要让任意早晚两刻之间都没有可预测的条件漂移。路径可以振荡、跳跃，方差也能增长；被固定的是当前信息下未来水平的平均值，而不是未来变化的大小。

càdlàg 正则性把不可数个时间坐标缝成可操作的轨迹。没有它，“每个固定时刻几乎处处”可能对应不同零集，首次越界、停止与路径极限便难以同时定义。右连续滤过则排除刚过时刻 $t$ 才突然出现、却在所有 $t+1/n$ 已知的信息差，使条件期望与停时逼近相容。

例子与边界

令 $W$ 为自然增广滤过下的 Brownian 运动，并设 $M_t=W_t^2-t$ 。对 $s<t$ ，由 $W_t=W_s+(W_t-W_s)$ 以及新增量独立、均值为零、方差为 $t-s$ ，

E[M_t\mid\mathcal F_s] =W_s^2+(t-s)-t=W_s^2-s=M_s.

其路径连续且每时刻可积，因此是真正的连续鞅。相同机制给出 $\exp(\theta W_t-\tfrac12\theta^2t)$ ：条件化后剩余增量的矩母函数恰好抵消 $-\tfrac12\theta^2(t-s)$ ，故它也是正鞅。

恒定期望、适应性和 càdlàg 路径合在一起仍不足。定义

X_t=\begin{cases}W_t,&t<1,\\-W_1,&t\ge1.\end{cases}

它对 Brownian 滤过适应、路径在 $1$ 处有跳跃且 càdlàg，并满足 $E[X_t]=0$ 。但对 $s<1$ ， $E[X_1\mid\mathcal F_s]=-W_s\ne W_s=X_s$ ，所以不是鞅。若改用预先包含 $W_1$ 的扩张滤过，连原过程 $W_t$ 在 $t<1$ 时也失去鞅性质，显示滤过是定义数据的一部分。

推论与应用

对平方可积鞅，条件 Jensen 不等式使 $M_t^2$ 成下鞅；Doob 最大不等式把终点二阶矩控制升级为整段路径最大值的概率或矩界。再结合闭鞅表示 $M_t=E[X\mid\mathcal F_t]$ ，可由一致可积性把 $t\to\infty$ 的条件期望更新收敛到终端信息下的预测。

连续鞅的随机振荡由二次变差而非普通总变差计量。若连续局部鞅 $M$ 的二次变差满足 $\langle M\rangle_t=t$ ，Lévy 刻画定理在通常条件下把它识别为 Brownian 运动；若 $\langle M\rangle_\infty=\infty$ ，Dambis–Dubins–Schwarz 定理进一步把 $M$ 写成某个 Brownian 运动的随机时间变换。这条逻辑把一般连续噪声归约到标准噪声，也解释二次变差为何是随机积分中的自然时钟。

参考资料

Daniel Revuz and Marc Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, 3rd ed., Springer, 1999, Ch. II, §§1–2, continuous-parameter martingales and regularization。
Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed., Springer, 1991, Ch. 1, §§1.3–1.5, continuous-time martingales, sampling and convergence。
L. C. G. Rogers and David Williams, Diffusions, Markov Processes and Martingales, Vol. 1, 2nd ed., Cambridge University Press, 2000, Ch. II, martingale regularity and stopping。

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