二次变差 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $X$ 为滤过概率空间上的实值 càdlàg 半鞅。对确定性划分 $\pi^n:0=t_0^n<\cdots<t_{k_n}^n$ ，假设 $t_{k_n}^n\to\infty$ ，且网格在每个紧区间上趋零，并定义

Q_t^{\pi^n}(X)=\sum_i\bigl(X_{t_i^n\wedge t}-X_{t_{i-1}^n\wedge t}\bigr)^2.

存在唯一到不可分辨的适应递增 càdlàg 过程 $[X]$ ，使 $Q^{\pi^n}(X)\to[X]$ 于 ucp 意义，即对每个 $T,\varepsilon>0$ ，

P\!\left(\sup_{t\le T}|Q_t^{\pi^n}(X)-[X]_t|>\varepsilon\right)\to0.

ucp 比每个固定时刻的依概率收敛更强，足以让停止与后续积分相容。若允许随机划分，通常要求各划分时刻为停时且网格依概率趋零；预见未来的自适应划分可能改变极限，不能无条件纳入定义。

若 $X=X_0+M+A$ 是连续半鞅， $M$ 为连续局部鞅、 $A$ 为连续有限变差过程，则 $[X]=[M]$ ，并且 $[A]=[M,A]=0$ 。一般 càdlàg 情形满足

\Delta[X]_t=(\Delta X_t)^2, \qquad [X]_t=[X]^c_t+\sum_{s\le t}(\Delta X_s)^2.

两半鞅的二次协变差由极化定义： $[X,Y]=\tfrac14([X+Y]-[X-Y])$ ，等价于划分上增量乘积之和的 ucp 极限。方括号 $[M]$ 与可预测尖括号 $\langle M\rangle$ 不同；对局部平方可积鞅，后者是使 $M^2-\langle M\rangle$ 成局部鞅的可预测补偿，二者只在补偿恰等于已实现变差时重合。

直觉

有限变差路径的小增量绝对值总和保持有限，平方后最大增量再乘总变差，细网格极限便消失。Brownian 型路径的增量约为 $\sqrt{\Delta t}$ ：每项平方约 $\Delta t$ ，累加却保留有限非零总量。二次变差因此滤掉一阶平滑漂移，留下随机振荡在二阶尺度积累的“能量”。

跳跃不会被细分消除。无论网格多细，跨过跳点的那一格最终捕获整个 $\Delta X$ ，贡献 $(\Delta X)^2$ 。连续振荡与离散跳跃由同一过程记账，却在分解式中清楚分开。

例子与边界

对 Brownian 运动 $W$ 和 $[0,t]$ 上划分，令 $\Delta_iW=W_{t_i}-W_{t_{i-1}}$ 。独立增量给出

E\sum_i(\Delta_iW)^2=t, \qquad \operatorname{Var}\!\left(\sum_i(\Delta_iW)^2\right) =2\sum_i(\Delta_it)^2\le2t|\pi|.

所以平方和在 $L^2$ 、从而依概率趋于 $t$ ；过程级论证给 $[W]_t=t$ ucp。由极化，若 $W^1,W^2$ 独立，则 $[W^1,W^2]=0$ ；若 $Y=\rho W^1+\sqrt{1-\rho^2}W^2$ ，则 $[W^1,Y]_t=\rho t$ 。

若 $A_t=t^2$ ，则任意划分上

\sum_i(A_{t_i}-A_{t_{i-1}})^2 \le \max_i|A_{t_i}-A_{t_{i-1}}|\,V_t(A)\to0,

故 $[A]=0$ 。若 $X_t=\mathbf1_{[\tau,\infty)}(t)$ ，则 $[X]_t=\mathbf1_{[\tau,\infty)}(t)$ ；连续二次变差为零没有排除跳跃平方。

在半鞅类外，任意连续路径不保证存在稳定极限。某些确定性连续函数可沿两列网格得到不同平方和极限；分数 Brownian 运动在 $H>1/2$ 的规则划分上二次变差为零，却仍有无限总变差，在 $H<1/2$ 时平方和发散。二次变差为零因而不能单独推出有限变差，划分极限也不能脱离过程类别和收敛口径解释。

推论与应用

平方恒等式

X_t^2=X_0^2+2\int_0^tX_{s-}\,dX_s+[X]_t

显示普通微积分漏掉的正是二次变差。对 Brownian 运动代入 $[W]_t=t$ ，便得到 $\int_0^tW_s\,dW_s=\tfrac12(W_t^2-t)$ ；修正项不是约定，而是离散乘积展开中平方增量的真实极限。

对连续局部鞅， $[M]$ 是随机积分可积类的自然控制量： $H$ 局部可积通常要求 $\int_0^tH_s^2\,d[M]_s<\infty$ 几乎处处。二次协变差还给出乘积法则中的交叉项，并在统计中形成已实现波动率的理论目标。离散高频平方收益只有在网格、噪声和跳跃假设满足时才估计 $[X]$ ；有微观结构噪声时，原始平方和会被额外噪声主导。

参考资料

Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, 2nd ed., version 2.1, Springer, 2005, Ch. II, §6, quadratic variation of semimartingales。
Daniel Revuz and Marc Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, 3rd ed., Springer, 1999, Ch. IV, §§1–2, brackets of continuous local martingales。
Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed., Springer, 1991, Ch. 3, §3.3, quadratic variation and change of variable。

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