形式陈述

同一概率空间上的随机变量 $X_n,X$$X_n,X$ 称依概率收敛，记作 $X_n\xrightarrow{P}X$$X_n\stackrel{P}{\to }X$，若对每个 $\varepsilon>0$$\epsilon >0$，

$$ \mathbb P(|X_n-X|>\varepsilon)\longrightarrow0. $$$$\mathbb{P}(|X_n-X|>\epsilon )⟶0.$$

度量

$$ d(X,Y)=\mathbb E[\min(1,|X-Y|)] $$$$d(X,Y)=\mathbb{E}[min(1,|X-Y|)]$$

在按 a.s. 相等取商后刻画这一收敛。依概率极限在 a.s. 意义下唯一；连续映射保持依概率收敛，且可与趋于常数的乘法、加法结合为 Slutsky 型结论。

直觉

依概率收敛允许每个 $n$$n$ 都有少量坏样本，只要求坏事件概率趋零；坏样本可以随 $n$$n$ 移动，因此不保证单条样本路径最终稳定。

例子与边界

弱大数律正是样本均值依概率趋于均值。若 $X_n=1_{A_n}$$X_n=1_{A_n}$ 且 $\mathbb P(A_n)\to0$$\mathbb{P}(A_n)\to 0$，则 $X_n\to0$$X_n\to 0$ 依概率；若 $A_n$$A_n$ 独立且概率约为 $1/n$$1/n$，事件仍可无穷多次发生，故未必几乎必然收敛。依概率收敛蕴含存在一个几乎必然收敛的子列，但原序列不必 a.s. 收敛。不同概率空间上的变量无法直接用 $|X_n-X|$$|X_n-X|$ 定义此模式，除非先构造耦合。

推论与应用

依概率收敛是统计一致性和弱大数律的标准语言，位于几乎必然收敛与依分布收敛之间。

参考资料

• Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995，Ch. 1, convergence in probability。
• Rick Durrett, Probability: Theory and Examples, 5th ed., Cambridge University Press, 2019，Ch. 2, modes of convergence and subsequence principles。