Itô 公式 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $(\Omega,\mathcal F,(\mathcal F_t),P)$ 满足通常条件， $X=(X^1,\ldots,X^d)$ 是连续半鞅， $f:[0,\infty)\times\mathbb R^d\to\mathbb R$ 属于 $C^{1,2}$ ：对时间一次、空间两次的偏导数连续。则在共同概率一事件上对所有 $t\ge0$ ，

\begin{aligned} f(t,X_t)=f(0,X_0) &+\int_0^t \partial_s f(s,X_s)\,ds\\ &+\sum_i\int_0^t\partial_i f(s,X_s)\,dX_s^i\\ &+\frac12\sum_{i,j}\int_0^t\partial_{ij}f(s,X_s)\,d[X^i,X^j]_s . \end{aligned}

这里随机项按Itô 积分解释，最后一项由有限变差的二次协变差积分给出。若 $X_t=X_0+\int_0^tb_sds+\int_0^t\sigma_s\,dW_s$ ，并且 $\int_0^T(|b_s|+\|\sigma_s\|^2)ds<\infty$ 几乎处处，则

df(t,X_t) =\left(\partial_t f+b_t\!\cdot\nabla f +\frac12\operatorname{tr}(\sigma_t\sigma_t^\top D^2f)\right)dt +\nabla f^\top\sigma_t\,dW_t.

这些积分先在导数有界的停止区域内定义，再由局部化推广；不要求 $f$ 及其导数全局有界，但每个有限时域上的复合积分必须满足相应局部可积条件。

对实值 càdlàg 半鞅 $X$ 与 $f\in C^2(\mathbb R)$ ，还要加入跳跃余项：

\begin{aligned} f(X_t)=f(X_0) &+\int_0^t f'(X_{s-})\,dX_s +\frac12\int_0^t f''(X_{s-})\,d[X]^c_s\\ &+\sum_{0<s\le t}\!\left( f(X_s)-f(X_{s-})-f'(X_{s-})\Delta X_s\right). \end{aligned}

连续部分只使用 $[X]^c$ ；跳跃的完整非线性变化由求和项承担。省略这项会把有跳过程错误地当成连续扩散。

直觉

Taylor 展开的一阶项累加成随机积分。普通光滑路径中，二阶余项约为 $(\Delta X)^2$ ，其总和随网格消失；Brownian 型增量却是 $\sqrt{\Delta t}$ 量级，平方后正好累积为 $\Delta t$ 。因此二阶导数项与一阶项同阶存活，系数 $1/2$ 直接来自 Taylor 公式。

连续二次变差只看无限细尺度的随机粗糙度，有限变差漂移与它没有连续协变差。跳跃则无法由局部二阶近似完全描述，所以公式保留真实函数增量，再减去已经计入的一阶部分。这个机制解释了修正项的形状，也说明不同积分约定为何对应不同链式法则。

例子与边界

取 $f(x)=x^2$ 、 $X=W$ 。因 $f'=2x$ 、 $f''=2$ 且 $[W]_t=t$ ，

W_t^2=2\int_0^tW_s\,dW_s+t,

这里 $E\int_0^T4W_s^2ds=2T^2<\infty$ ，所以随机积分是真鞅，进而 $W_t^2-t$ 是鞅。取 $f(t,x)=\exp(\sigma x+(\mu-\tfrac12\sigma^2)t)$ ，代入后时间修正与 $\tfrac12\sigma^2f\,dt$ 抵消，得到

d f(t,W_t)=\mu f(t,W_t)\,dt+\sigma f(t,W_t)\,dW_t.

所以 $S_t=S_0\exp((\mu-\sigma^2/2)t+\sigma W_t)$ 直接解出几何 Brownian 方程；普通指数中少掉的 $-\sigma^2t/2$ 正是二次变差修正。

光滑性有真实边界。对 $f(x)=|x|$ ，二阶导数在零点不存在，若生硬写 $d|W_t|=\operatorname{sgn}(W_t)dW_t$ ，取期望会错误得到 $E|W_t|=0$ 。正确的 Tanaka 公式是

|W_t|=\int_0^t\operatorname{sgn}(W_s)\,dW_s+L_t^0,

其中局部时间 $L_t^0$ 集中记录路径访问零点的贡献，且 $E L_t^0=E|W_t|=\sqrt{2t/\pi}$ 。对 Brownian 运动，凸函数的 Itô–Tanaka 公式进一步把一般曲率测度与局部时间配对，统一多个折点和平滑曲率；不能把奇点藏进形式导数。

这里局部时间只在零点增长，正是把随机积分项调节为非负路径的最小非减修正；Skorokhod 反射问题给出这一修正的逐路径构造与唯一性。

推论与应用

对 $f(x,y)=xy$ 使用二维公式，得到乘积法则

d(XY)=X_{-}\,dY+Y_{-}\,dX+d[X,Y].

这条规则导出随机积分分部、指数过程和线性 SDE 的积分因子。在过程保持正值的区间内，先局部化以避开零点，再对 $f=\log$ 应用公式，可把乘法噪声变成加法噪声，同时出现 $-\tfrac12\sigma^2dt$ ；这让正性、矩与长期增长率可直接计算。

若选择 $f=u(t,x)$ 使漂移算子 $\partial_tu+b\cdot\nabla u+\tfrac12\operatorname{tr}(\sigma\sigma^\top D^2u)$ 消失，则 $u(t,X_t)$ 成局部鞅；若局部化后的取值族在每个有限时域上一致可积，例如随机积分的平均平方能量有限，便可升级为真鞅。仅有每个时刻分别可积不够。由此可把扩散期望转成偏微分方程，形成 Feynman–Kac 公式，也可用候选 Lyapunov 函数的漂移符号证明非爆炸、 hitting 概率与稳定性。

参考资料

Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed., Springer, 1991, Ch. 3, §3.3, change-of-variable formula。
Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, 2nd ed., version 2.1, Springer, 2005, Ch. II, §7, Itô formula for semimartingales with jumps。
Daniel Revuz and Marc Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, 3rd ed., Springer, 1999, Ch. IV, §§3–4, Itô and Itô–Tanaka formulae。

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