Feynman–Kac 公式

形式陈述 ​

固定 $0<T<\mathrm{\infty }$。对每个 $(t,x)$，设 $X^{t,x}$ 是下列随机微分方程理路随机微分方程Stochastic differential equation · SDE以时间积分描述漂移、以 Itô 积分描述噪声，并由适应连续过程满足的积分恒等式定义解。的唯一非爆炸强解：

其中 $b,\sigma$ 连续、对 $x$ 的全局 Lipschitz 条件与线性增长条件在 $[0,T]$ 上一致；SDE 存在唯一性定理理路SDE 解的存在唯一性Existence and uniqueness for SDE · SDE existence and uniqueness theorem在全局 Lipschitz 与线性增长条件下保证 Brownian SDE 存在唯一全局强解及二阶矩控制。保证这样的扩散存在。记 $a=\sigma {\sigma }^{\mathrm{\top }}$，生成元采用

的正号约定。若 $u\in C^{1,2}([0,T)\times {\mathbb{R}}^d)\cap C([0,T]\times {\mathbb{R}}^d)$ 满足后向 PDE理路偏微分方程Partial differential equation · PDE含未知多元函数及其偏导数的方程。

设 $c,f$ 在 $[0,T]\times {\mathbb{R}}^d$ 上连续，$g$ 连续，且 $c$ 有下界。假设下述局部鞅的停止值构成一致可积理路一致可积性Uniform integrability · Uniformly integrable family一族可积随机变量在统一截断水平之外的绝对期望可以一致地趋于零。族，并可在终点连续延拓，则

证明对

使用Itô 公式理路Itô 公式Itô formula · Ito formula · Itô lemma为半鞅的光滑函数换元加入二次协变差与跳跃补偿项的随机链式法则。；PDE 令漂移为零，再由局部化、一致可积和 $s\uparrow T$ 取期望。一组具体的充分条件是：$|u(s,y)|+|f(s,y)|+|g(y)|\le K(1+|y{|}^p)$ 在整个时域一致成立，且 $E_{t,x}\underset{t\le s\le T}{sup}|X_s{|}^p<\mathrm{\infty }$。因为折现因子有确定上界，所有停止值此时都被一个可积变量支配。若采用 PDE $-{\partial }_{t}u-{\mathcal{L}}_{t}u+cu=f$，它与上式等价；改变生成元或源项记号时，期望中积分的正负号也必须同步。

反向“期望定义的 $u$ 是经典解”需要另行建立 PDE 正则性。一个常用的充分版本在上述扩散条件外，假设 $a$ 一致椭圆，$a,b,c,f$ 局部抛物 Hölder 连续，即在紧集上分别具有时间 $\alpha /2$、空间 $\alpha$ 的 Hölder 控制，$0<\alpha <1$；并取 $c$ 有界，$f$ 在时间上一致多项式增长，$g$ 连续且多项式增长。抛物型正则性此时给出 $t<T$ 内的 $C^{1,2}$ 解及连续终值。这里源项 $f$ 的正则性不能只用连续性替代；即使扩散系数恒定，连续源项也未必产生连续二阶空间导数。若使用退化或更粗糙系数，则须在相应条件下证明黏性解或弱解结论，不能直接沿用经典可微性。