Feynman–Kac 公式 | Codeboy's Blog

形式陈述

固定 $T<\infty$ 。对每个 $(t,x)$ ，设 $X^{t,x}$ 是下列随机微分方程的解：

dX_s=b(s,X_s)ds+\sigma(s,X_s)dW_s,\qquad X_t=x,\quad s\in[t,T]

的唯一非爆炸强解，其中 $b,\sigma$ 连续、对 $x$ 全局 Lipschitz 且线性增长。记 $a=\sigma\sigma^\top$ ，生成元采用

\mathcal L_t\phi(x) =b(t,x)\cdot\nabla\phi(x) +\frac12\operatorname{tr}\!\bigl(a(t,x)D^2\phi(x)\bigr)

的正号约定。若 $u\in C^{1,2}([0,T)\times\mathbb R^d)\cap C([0,T]\times\mathbb R^d)$ 满足后向 PDE

\partial_tu+\mathcal L_tu-c\,u+f=0, \qquad u(T,x)=g(x),

并且 $c$ 有下界， $u,f,g$ 的增长和扩散矩足以使下述局部鞅一致可积，则

\begin{aligned} u(t,x)=E_{t,x}\Bigg[ &e^{-\int_t^T c(r,X_r)dr}g(X_T)\\ &+\int_t^T e^{-\int_t^s c(r,X_r)dr}f(s,X_s)ds \Bigg]. \end{aligned}

证明对

e^{-\int_t^s c(r,X_r)dr}u(s,X_s) +\int_t^s e^{-\int_t^q c(r,X_r)dr}f(q,X_q)dq

使用Itô 公式；PDE 令漂移为零，再由停止、统一可积和 $s\uparrow T$ 取期望。若采用 PDE $-\partial_tu-\mathcal L_tu+cu=f$ ，它与上式等价；改变生成元或源项记号时，期望中积分的正负号也必须同步。

反向“期望定义的 $u$ 是经典解”需要更多 PDE 正则性。例如 $a$ 一致椭圆、系数局部 Hölder 连续， $c,f,g$ 连续且具有相容的多项式增长，可由抛物型正则性得到 $C^{1,2}$ 解。若系数仅连续或退化，期望通常仍定义黏性解或适当弱解，但不能无条件声称二阶经典可微。

直觉

扩散从 $(t,x)$ 出发探索未来状态，终值 $g(X_T)$ 把每条随机路径的最终回报带回当前。势项 $c$ 沿途连续折现；源项 $f$ 则把每个中间时刻的新贡献按从 $t$ 到该时刻的累计折现相加。对所有路径取平均，局部噪声项因鞅性质消失，只留下恰与 PDE 漂移相抵的确定量。

公式连接的是两种演化描述：PDE 在每一点施加局部导数关系，扩散期望沿随机路径汇总全局边界数据。Itô 公式是转换器，唯一性或增长条件则保证局部关系没有遗漏从无穷远进入的异常解。

例子与边界

取一维 $b=0,\sigma=1,c=f=0$ ，终值 $g(x)=x^2$ 。此时 $X_s^{t,x}=x+W_s-W_t$ ，所以

u(t,x)=E[(x+W_T-W_t)^2]=x^2+T-t.

直接检验

\partial_tu+\frac12\partial_{xx}u=-1+\frac12\cdot2=0, \qquad u(T,x)=x^2.

这是后向热方程的可复算实例，也固定了时间导数的符号。若再取常数 $c=r$ ，同一终值且 $f=0$ ，则 $u(t,x)=e^{-r(T-t)}(x^2+T-t)$ ，代入 $\partial_tu+\tfrac12u_{xx}-ru=0$ 可再次核对折现方向。

增长条件不能删去。仍取 Brownian 运动和 $g(x)=e^{x^2}$ ，若 $\tau=T-t$ ，则

E[e^{(x+\sqrt{\tau}Z)^2}]

只在 $2\tau<1$ 时有限；当 $2\tau\ge1$ ，高斯密度无法压住 $e^{y^2}$ 的尾部，期望发散，公式右侧不是有限经典解。即使零终值，热方程在允许极快空间增长的光滑函数类中也存在 Tychonoff 型非唯一解；多项式或合适指数增长约束承担唯一性工作，不是排版性假设。

若扩散可能爆炸或区域有边界，还要在爆炸时刻或首次离域时停止，并指定杀死、反射或边界数据。直接把无界域终值公式用于有限区域 Dirichlet 问题，会漏掉首次出界处的边界项。

推论与应用

验证方向给出 PDE 唯一性：两个满足同一终值、正则性与增长控制的经典解之差，其路径表示为零期望，故处处为零。存在方向则可先定义期望，再用独立的抛物正则性证明它足够光滑，从而把概率构造变成 PDE 解。

在定价中， $c$ 是短利率、 $g$ 是到期支付、 $f$ 是连续现金流；先在风险中性测度下建立扩散，再由公式得到价格 PDE。对 $c=f=0$ ，公式退化为 Kolmogorov 后向方程与转移半群 $u(t,x)=E_{t,x}g(X_T)$ 。换成首次退出时刻和边界支付，则得到调和测度、Dirichlet 问题及 hitting 概率表示；每种变体都需重新检查停时可积性与边界正则性。

参考资料

Bernt Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, 6th ed., Springer, 2003, Ch. 8, §8.2, the Feynman–Kac formula。
Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed., Springer, 1991, Ch. 4, §4.4, the formulas of Feynman and Kac。
Avner Friedman, Stochastic Differential Equations and Applications, Vol. 1, Academic Press, 1975, Ch. 6, diffusion processes and parabolic equations。

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