Itô 积分 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $(\Omega,\mathcal F,(\mathcal F_t),P)$ 满足通常条件， $W$ 是相对于该滤过的Brownian 运动。固定 $0<T<\infty$ 。可预测 $\sigma$ -代数 $\mathcal P$ 由适应的左连续过程生成；对 $\mathcal P$ 可测的过程称为可预测。连续适应过程及其 Borel 函数都可预测。简单可预测过程写成

H_t=\sum_{k=0}^{n-1}H_k\mathbf1_{(t_k,t_{k+1}]}(t),

其中 $0=t_0<\cdots<t_n=T$ ， $H_k$ 为 $\mathcal F_{t_k}$ -可测且平方可积。定义

\int_0^tH_s\,dW_s =\sum_{k=0}^{n-1}H_k\bigl(W_{t_{k+1}\wedge t}-W_{t_k\wedge t}\bigr).

系数在区间左端已知，这正是可预测性；若用右端或终点信息，新增量与系数不再条件正交。对所有可预测 $H$ 满足

E\int_0^T H_s^2ds<\infty,

简单过程在预测 $L^2$ 空间 $L^2(\Omega\times[0,T],\mathcal P,dP\,dt)$ 中稠密。先对简单过程证明 Itô 等距，再利用该等距，相应积分在 $L^2(\Omega)$ 中 Cauchy，极限与逼近列无关，定义 $\int H\,dW$ 。在有限网格上应用Doob 的 $L^2$ 最大不等式，并利用简单积分的连续性取稠密网格极限，可把终点 $L^2$ 控制提升为最大范数控制。于是能选子列在整个 $[0,T]$ 上几乎处处一致收敛，所得过程有连续版本，是均值零的平方可积鞅；若只要求 $\int_0^T H_s^2ds<\infty$ 几乎处处，则用能量停时局部化，得到连续局部鞅，收敛通常表述为 ucp。

对一般 càdlàg 半鞅 $X$ ，可预测过程 $H$ 属于可积类 $L(X)$ 时也能定义 $H\!\cdot X$ 。局部有界的可预测 $H$ 对任意这样的 $X$ 都可积。对连续半鞅 $X=X_0+M+A$ ，其中 $M$ 为连续局部鞅、 $A$ 为连续有限变差过程，更广的一组充分条件是：每个有限时域上 $\int H^2d[M]<\infty$ 与 $\int|H|dV(A)<\infty$ 几乎处处成立。此时分别构造局部鞅积分与路径有限变差积分后相加。一般含跳过程的更广可积类还要检查跳跃与局部可积控制，不能仅把连续情形的能量截断照搬过去。Brownian 的 $L^2(dt\times P)$ 构造是最清楚的核心版本，不应把它的等距公式无条件搬到含漂移或跳跃的积分器。

直觉

有限变差积分器允许沿路径构造 Riemann–Stieltjes 积分，而 Brownian 路径的总变差无限。Itô 构造不沿单条路径强求绝对收敛，而利用新增量在给定过去后均值为零、方差为时间长度：不同小段的随机误差在平方平均意义下正交，平方和控制取代绝对值和控制。

左端取值表达因果顺序。被积过程决定这一小段要放大多少噪声，然后噪声才到来。在上述有限平均平方能量条件下，这使条件期望为零，积分成为真鞅；仅有逐路径局部能量控制时先得到局部鞅。积分值会依赖这一取样约定；中点极限产生 Stratonovich 积分，并把部分二次变差修正移入积分定义。

例子与边界

取 $H_s=W_s$ 。对划分 $\pi$ ，左端和满足代数恒等式

\sum_k W_{t_k}(W_{t_{k+1}}-W_{t_k}) =\frac12\left(W_T^2-\sum_k(W_{t_{k+1}}-W_{t_k})^2\right).

平方增量和依概率趋于二次变差 $[W]_T=T$ ，左端和在 $L^2$ 中趋于 Itô 积分，因此

\int_0^T W_s\,dW_s=\frac12(W_T^2-T).

若误套普通链式法则就会漏掉 $-T/2$ ；它来自每格二阶项累积，不会随网格消失。

不适应被积过程给出真实边界。固定 $T$ 后令 $H_s=W_T$ 。在 $s<T$ ，它通常不对 $\mathcal F_s$ 可测，更非可预测；形式左端和变成 $W_T\sum\Delta W=W_T^2$ ，其期望为 $T$ ，不再是均值零鞅积分。预见型积分可以另建 Skorohod 等理论，但那是不同定义与修正，不能称为此处的 Itô 积分。

即使确定性过程也会超出终点可积类。取 $H_s=(T-s)^{-1}$ （ $s<T$ ），并令 $H_T=0$ ，则对每个 $t<T$ ， $\int_0^tH_s^2ds<\infty$ ，所以积分在 $[0,t]$ 定义；但 $\int_0^T(T-s)^{-2}ds=\infty$ ，积分方差趋于无穷，不能以 $L^2$ 极限定义有限的终点值。

推论与应用

积分映射把被积过程的平方能量转为鞅的二次变差：对局部平方可积 $H$ ，

\left[\int_0^\cdot H_s\,dW_s\right]_t=\int_0^tH_s^2ds.

因此先控制右侧便能通过停止与最大不等式控制整条积分路径。若 $H^n\to H$ 于预测 $L^2$ ，积分也在 $L^2$ 与 ucp 意义收敛，这使阶梯策略、数值离散和极限过程可以共享同一定义。

随机微分方程 $X_t=X_0+\int b\,ds+\int\sigma\,dW$ 以该积分作为噪声项；Itô 公式再说明光滑函数如何作用于解。Brownian 滤过下的鞅表示定理还表明，每个适当平方可积鞅都能写成某个可预测 $H$ 的积分，因此 Itô 积分不只是造新过程，也给出了 Brownian 信息中所有连续公平波动的坐标系。

参考资料

Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed., Springer, 1991, Ch. 3, §3.2, construction and extension of the stochastic integral。
Bernt Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, 6th ed., Springer, 2003, Ch. 3, §§3.1–3.2, the Itô integral and its properties。
Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, 2nd ed., version 2.1, Springer, 2005, Ch. II, §§2–4, integration with respect to semimartingales。

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