随机指数

普通微分方程 $dZ=Zdx$ 的解是 $e^x$，因为光滑增量的平方总和消失。随机驱动的平方增量会累计；直接取 $e^{X_t}$ 会多出半个二次变差漂移。随机指数把这项从指数中预先扣除，使每一小段仍保持“当前值乘驱动增量”的乘法规律。

跳跃时线性方程给 $\mathrm{\Delta }{Z}_t=Z_{t-}\mathrm{\Delta }{X}_t$，在 $Z_{t-}\ne 0$ 时有 $Z_t/Z_{t-}=1+\mathrm{\Delta }{X}_t$，并非 $e^{\mathrm{\Delta }{X}_t}$。乘积中的 $(1+\mathrm{\Delta }X)e^{-\mathrm{\Delta }X}$ 正好把普通指数对跳跃的错误倍率改回线性倍率。连续修正和跳跃修正解决的是同一个问题在两种路径尺度上的表现。

取 $X_t=\theta W_t$，则 $[X{]}_t={\theta }^{2}t$，

由正态分布理路正态分布Normal distribution · Gaussian distribution · 高斯分布具有指数平方密度、在仿射变换与独立求和下封闭的概率分布族。的指数矩公式，

所以这里是真鞅。若漏掉修正而使用 $e^{\theta W_t}$，期望为 $e^{{\theta }^{2}t/2}$，并产生漂移 $\frac{1}{2}{\theta }^2{e}^{\theta W_t}dt$；当 $\theta \ne 0$ 时，它不是 $dZ=\theta ZdW$ 的解。

若 $X_t=at$ 是连续有限变差过程，则 $[X]=0$，随机指数退化为 $e^{at}$，与普通积分因子一致。若 $\tau >0$ 为固定时刻，$X_t=c{\mathbf{1}}_{[\tau ,\mathrm{\infty })}(t)$ 且 $c>-1$，则跳前 $\mathcal{E}(X)=1$、跳后为 $1+c$；普通指数会给 $e^c$，除 $c=0$ 外不满足 $\mathrm{\Delta }Z=Z_{-}\mathrm{\Delta }X$。

正局部鞅仍可能严格。局部鞅理路局部鞅Local martingale可由一列趋向无穷的停时截断成真鞅的适应 càdlàg 过程。中的三维 Bessel 倒数例子，取 $R_0=r>0$，满足

但 $E[r/R_t]<1$ 对 $t>0$。这个随机指数不能直接作总质量为一的密度；失败来自尾部一致可积性，不是显式指数公式错误。

线性随机方程 $d{Z}_t=Z_{t-}d{X}_t$ 由 $\mathcal{E}(X)$ 一步解出。更一般的仿射方程可用随机积分因子化简；在跳跃情形求逆需避免 $\mathrm{\Delta }X=-1$；更强的 $\mathrm{\Delta }X>-1$ 还保证正性。单个大小为 $-2$ 的跳跃把随机指数从 $1$ 变为 $-1$，仍然可逆，因而正性条件不是可逆性的必要条件。几何 Brownian 运动正是 $S_t=S_0\mathcal{E}(\mu t+\sigma W{)}_t$，显式式自动带出 $-{\sigma }^{2}t/2$。

测度变换中，取 $M_t=-{\int }_0^t{\theta }_{s}d{W}_s$。若 $\mathcal{E}(M)$ 为真鞅，终点值便定义新测度，Girsanov 定理把 $W_t+{\int }_0^t{\theta }_{s}ds$ 变成新测度下的 Brownian 运动。这里“局部鞅指数 → 真鞅密度 → 改变漂移”是三步逻辑；Novikov、Kazamaki 等条件只负责中间升级，不能从随机指数的定义直接跳到测度存在。