随机指数 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $(\Omega,\mathcal F,(\mathcal F_t),P)$ 满足通常条件， $X$ 是实值 càdlàg 半鞅且 $X_0=0$ 。 $X$ 的 Doléans–Dade 随机指数 $\mathcal E(X)$ 定义为线性方程

Z_t=1+\int_0^t Z_{s-}\,dX_s

的唯一 càdlàg 解，其中积分按半鞅随机积分解释。显式式为

\mathcal E(X)_t =\exp\!\left(X_t-\frac12[X^c]_t\right) \prod_{0<s\le t}(1+\Delta X_s)e^{-\Delta X_s}.

这里 $X^c$ 表示连续局部鞅部分， $[X^c]$ 是其二次变差；半鞅跳跃结构保证乘积在每个紧时间区间按标准次序良好定义。若 $X$ 连续，公式简化为

\mathcal E(X)_t=\exp\!\left(X_t-\tfrac12[X]_t\right).

这正由Itô 公式验证：普通指数产生 $\tfrac12 Z\,d[X]$ ，减去半个二次变差后才留下 $dZ=Z\,dX$ 。

若 $\Delta X_t>-1$ 对所有 $t$ 几乎处处成立，则 $\mathcal E(X)$ 严格为正；若某次 $\Delta X=-1$ ，过程在该时刻变为零并保持为零；若允许 $\Delta X<-1$ ，因子 $1+\Delta X$ 会改变符号。若 $X=M$ 是连续局部鞅， $\mathcal E(M)$ 是非负局部鞅，从而是上鞅，但未必是真鞅。只有另证 $E[\mathcal E(M)_t]=1$ （或一致可积性）后，它才能作为概率测度的密度过程。

直觉

普通微分方程 $dZ=Z\,dx$ 的解是 $e^x$ ，因为光滑增量的平方总和消失。随机驱动的平方增量会累计；直接取 $e^{X_t}$ 会多出半个二次变差漂移。随机指数把这项从指数中预先扣除，使每一小段仍保持“当前值乘驱动增量”的乘法规律。

跳跃时线性方程给 $\Delta Z_t=Z_{t-}\Delta X_t$ ，所以 $Z_t/Z_{t-}=1+\Delta X_t$ ，并非 $e^{\Delta X_t}$ 。乘积中的 $(1+\Delta X)e^{-\Delta X}$ 正好把普通指数对跳跃的错误倍率改回线性倍率。连续修正和跳跃修正解决的是同一个问题在两种路径尺度上的表现。

例子与边界

取 $X_t=\theta W_t$ ，则 $[X]_t=\theta^2t$ ，

\mathcal E(\theta W)_t =\exp\!\left(\theta W_t-\frac12\theta^2t\right).

由正态矩母函数，

E[\mathcal E(\theta W)_t] =e^{-\theta^2t/2}E[e^{\theta W_t}]=1,

所以这里是真鞅。若漏掉修正而使用 $e^{\theta W_t}$ ，期望为 $e^{\theta^2t/2}$ ，并满足带正漂移的方程，不是 $dZ=\theta Z\,dW$ 的解。

若 $X_t=at$ 是连续有限变差过程，则 $[X]=0$ ，随机指数退化为 $e^{at}$ ，与普通积分因子一致。若 $X_t=c\mathbf1_{[\tau,\infty)}(t)$ 且 $c>-1$ ，则跳前 $\mathcal E(X)=1$ 、跳后为 $1+c$ ；普通指数会给 $e^c$ ，除 $c=0$ 外不满足 $\Delta Z=Z_-\Delta X$ 。

正局部鞅仍可能严格。三维 Bessel 过程 $R$ 的倒数满足

\frac{r}{R_t} =\mathcal E\!\left(-\int_0^\cdot\frac1{R_s}\,dW_s\right)_t,

但 $E[r/R_t]<1$ 对 $t>0$ 。这个随机指数不能直接作总质量为一的密度；失败来自尾部一致可积性，不是显式指数公式错误。

推论与应用

线性随机方程 $dZ_t=Z_{t-}dX_t$ 由 $\mathcal E(X)$ 一步解出。更一般的仿射方程可用随机积分因子化简；在跳跃情形求逆还需 $\Delta X>-1$ ，以免指数触零。几何 Brownian 运动正是 $S_t=S_0\mathcal E(\mu t+\sigma W)_t$ ，显式式自动带出 $-\sigma^2t/2$ 。

测度变换中，取 $M_t=-\int_0^t\theta_s\,dW_s$ 。若 $\mathcal E(M)$ 为真鞅，终点值便定义新测度，Girsanov 定理把 $W_t+\int_0^t\theta_sds$ 变成新测度下的 Brownian 运动。这里“局部鞅指数 → 真鞅密度 → 改变漂移”是三步逻辑；Novikov、Kazamaki 等条件只负责中间升级，不能从随机指数的定义直接跳到测度存在。

参考资料

Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, 2nd ed., version 2.1, Springer, 2005, Ch. V, §9, general stochastic exponentials and linear equations。
Daniel Revuz and Marc Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, 3rd ed., Springer, 1999, Ch. IV, §3, exponential local martingales。
Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed., Springer, 1991, Ch. 3, §3.5, exponential martingales used in change of measure。

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