Brownian 运动

Brownian 运动把时间区间的长度转成新噪声的方差。把一段区间拆开，各小段贡献独立，方差因而相加；这迫使尺度为 $\sqrt{t}$，而非与 $t$ 成正比。连续性说明位置没有跳跃，却不表示运动平滑：独立的新扰动在所有尺度持续注入，使典型路径处处不可微，并具有无限总变差。

滤过条件把“新噪声”说得更精确。$W_t-W_s$ 不只与过去位置 $W_s$ 独立，还与时刻 $s$ 的全部允许信息独立。若人为把未来值加入 ${\mathcal{F}}_s$，同一坐标过程仍连续，却不再是相对于扩张滤过的 Brownian 运动。

对 $0\le s<t$，写 $W_t=W_s+(W_t-W_s)$。独立性与零均值给出

所以 $W_t^2-t$ 是鞅。这个计算同时展示为什么普通平方会产生确定性漂移：新高斯噪声的条件方差正好累积为时间。

Brownian 缩放可以直接复核。对任意 $c>0$，令 $B_t=c^{-1/2}{W}_{ct}$。它从零出发且路径连续；增量 $B_t-B_s$ 为 $N(0,t-s)$，不同区间仍对应 $W$ 的不交增量，故 $B$ 仍是 Brownian 运动。该自相似性解释扩散距离的平方与时间同阶。

仅有正确的一维边缘不够。令 $Z\sim N(0,1)$，取 $X_t=\sqrt{t}Z$。每个 $X_t\sim N(0,t)$ 且路径连续，但所有时刻共享同一个 $Z$；例如 $X_2-X_1=(\sqrt{2}-1)Z$ 与 $X_1=Z$ 完全相关，既非独立增量，增量方差也不是 $1$。另一方面，带漂移过程 $W_t+\mu t$ 有连续独立平稳增量，却因增量均值为 $\mu (t-s)$ 而不是标准 Brownian 运动。

独立增量先给 Markov 性：给定 ${\mathcal{F}}_s$ 后，未来 $W_{s+t}-W_s$ 是一份与过去无关的新 Brownian 噪声。把确定时刻推广到停时并使用连续性与逼近，可得强 Markov 性；反射原理随后把首次越过水平 $a$ 的概率转为终点尾概率，$P(\underset{u\le t}{sup}{W}_u\ge a)=2P(W_t\ge a)$。

核 $min(s,t)$ 与连续版本把 Brownian 运动同时连接到高斯分析和路径空间测度；鞅性质则打开停止、二次变差和随机积分。它还是扩散模型中的驱动噪声：把确定性微分方程的速度项替换为 $d{W}_t$ 后，解的增量在小时间尺度呈 $\sqrt{dt}$，这正是普通微积分二阶项不能再忽略的来源。