Brownian 运动

Brownian 运动把时间区间的长度转成新噪声的方差。把一段区间拆开，各小段贡献独立，方差因而相加；这迫使尺度为 $\sqrt{t}$，而非与 $t$ 成正比。连续性说明位置没有跳跃，却不表示运动平滑：独立的新扰动在所有尺度持续注入，使典型路径处处不可微，并具有无限总变差。

滤过条件把“新噪声”说得更精确。$W_t-W_s$ 不只与过去位置 $W_s$ 独立，还与时刻 $s$ 的全部允许信息独立。若人为把未来值加入 ${\mathcal{F}}_s$，同一坐标过程仍连续，却不再是相对于扩张滤过的 Brownian 运动。

对 $0\le s<t$，写 $W_t=W_s+(W_t-W_s)$。独立性与零均值给出

所以 $W_t^2-t$ 是鞅。这个计算同时展示为什么普通平方会产生确定性漂移：新高斯噪声的条件方差正好累积为时间。

Brownian 缩放可以直接复核。对任意 $c>0$，令 $B_t=c^{-1/2}{W}_{ct}$。它从零出发且路径连续；增量 $B_t-B_s$ 为 $N(0,t-s)$，不同区间仍对应 $W$ 的不交增量，故 $B$ 相对于时间变换后的滤过 $({\mathcal{F}}_{ct}{)}_{t\ge 0}$ 仍是 Brownian 运动。该自相似性解释扩散距离的平方与时间同阶。

Donsker 原理理路Donsker 不变性原理Donsker invariance principle · Functional central limit theorem for random walks有限方差的中心化独立同分布随机游走，经时间和空间缩放后，整条折线路径弱收敛到 Brownian 运动。说明有限方差随机游走怎样在这一尺度下取得整条 Brownian 路径极限；沿一条路径观察无限久时，重对数律理路Brownian 重对数律Law of the iterated logarithm for Brownian motion · Brownian LIL同一条 Brownian 路径长期反复触及 sqrt(2t log log t) 的正负包络，尖锐常数都为一。则给出还需乘上重对数修正的尖锐振荡包络。

一维边缘描述每个时刻的分布，增量结构还取决于不同时刻如何关联。令 $Z\sim N(0,1)$，取 $X_t=\sqrt{t}Z$。每个 $X_t\sim N(0,t)$ 且路径连续，但所有时刻共享同一个 $Z$；例如 $X_2-X_1=(\sqrt{2}-1)Z$ 与 $X_1=Z$ 完全相关，既非独立增量，增量方差也不是 $1$。另一方面，带漂移过程 $W_t+\mu t$ 有连续独立平稳增量，却因增量均值为 $\mu (t-s)$ 而不是标准 Brownian 运动。

独立增量先给 Markov 性：给定 ${\mathcal{F}}_s$ 后，未来 $W_{s+t}-W_s$ 是一份与过去无关的新 Brownian 噪声。把确定时刻推广到停时并使用连续性与逼近，可得强 Markov 性；对 $a>0$、$t>0$，反射原理把首次到达水平 $a$ 的概率转为终点尾概率，$P(\underset{u\le t}{sup}{W}_u\ge a)=2P(W_t\ge a)$。

核 $min(s,t)$ 描述各时刻之间的高斯关联，鞅性质则用于停止、二次变差和随机积分。扩散模型 $d{X}_t=b(X_t)dt+\sigma (X_t)d{W}_t$ 同时包含确定性漂移与随机扰动：短时间内，Brownian 增量的典型大小为 $\sqrt{dt}$，平方项与 $dt$ 同阶，因此随机微积分保留了普通一阶展开中会消失的二阶贡献。

缩小噪声幅度后，整条 Brownian 路径偏离零轨迹的指数成本由Schilder 定理理路Schilder 定理Schilder theorem在一致路径拓扑下，以平方速度能量刻画小噪声 Brownian 路径的大偏差成本。给出。有限成本候选路径具有平方可积速度，成本为半个速度平方积分；这描述路径邻域的稀有概率，不是把典型 Brownian 路径变成可微曲线。

若任务是在 $[0,1]$ 上用有限个空间模态近似整条路径，正核的谱质量、迹与截断误差理路正核的谱质量、迹与截断误差Positive kernel spectral trace · Mercer theorem · Mercer 定理 · 连续正核的迹公式从连续正半定核的逐点再生表示证明 Mercer 展开与正迹公式，再计算 Brownian 协方差的三种截断误差及奇异加权损失的成败。从 $min(s,t)$ 的连续对角线证明总方差为 $1/2$，复用 Volterra 左奇异基计算积分均方截断误差，并展示 $1/x$ 损失仍收敛而 $1/x^2$ 损失对每个有限截断都无限。这个积分均方结论不自动等于随机级数几乎处处一致收敛。