随机微分方程 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $(\Omega,\mathcal F,(\mathcal F_t)_{t\ge0},P)$ 满足通常条件， $W$ 是 $m$ 维 Brownian 运动，初值 $\xi$ 为 $\mathcal F_0$ -可测。给定 Borel 系数

b:[0,\infty)\times\mathbb R^d\to\mathbb R^d,\qquad \sigma:[0,\infty)\times\mathbb R^d\to\mathbb R^{d\times m},

形式记号

dX_t=b(t,X_t)\,dt+\sigma(t,X_t)\,dW_t,\qquad X_0=\xi

的含义是寻找适应的连续过程 $X$ ，使对每个 $T<\infty$ ，

\int_0^T\left(|b(s,X_s)|+\|\sigma(s,X_s)\|_{\mathrm{HS}}^2\right)ds<\infty \quad P\text{-a.s.},

且在一个共同概率一事件上，对所有 $t\ge0$ ，

X_t=\xi+\int_0^tb(s,X_s)\,ds +\int_0^t\sigma(s,X_s)\,dW_s.

第一项是逐路径 Lebesgue 积分，第二项是Itô 积分。方程的相等是过程不可分辨意义，不只是每个固定 $t$ 各有一个零集。上述可积条件保证等式有定义，却不保证解存在、唯一或不爆炸；这些结论需要对系数另加条件。

更一般的系数可依赖 $\omega$ ，一种直接匹配上述积分的条件是， $b(t,\omega,x)$ 与 $\sigma(t,\omega,x)$ 关于可预测 $\sigma$ -代数与 $\mathcal B(\mathbb R^d)$ 的乘积联合可测；漂移项也可采用渐进可测版本。代入连续适应 $X$ 后，还须满足相同可积性。只逐个固定 $x$ 声明可测性，并不足以自动保证代入后的联合可测性。含跳 SDE 则还需 Poisson 随机测度及其补偿积分，不能用 $dW_t$ 一项代替。这里的连续扩散版本是与常微分方程最直接对应的核心模型。

直觉

漂移 $b$ 给出当前状态下的确定性瞬时趋势；扩散矩阵 $\sigma$ 把独立 Brownian 坐标旋转、缩放到状态空间。短时间 $h$ 内，漂移约为 $h$ ，噪声约为 $\sqrt h$ 。噪声在单步尺度更大，却因正负抵消而在长期留下有限二次变差；这也解释为什么 SDE 必须写成积分等式，不能把 Brownian 路径当作有普通导数的外力。

系数依赖当前状态形成反馈。一次噪声偏移会改变后续漂移和波动率，因此即便驱动噪声增量独立，解的增量通常既不独立也不平稳。解是否只由当前状态决定还依赖系数是否 Markov 型和唯一性，而不是由“SDE”三个字自动获得。

例子与边界

Ornstein–Uhlenbeck 方程

dX_t=\kappa(\theta-X_t)\,dt+\eta\,dW_t,\qquad X_0=x

在 $\kappa>0$ 时描述向 $\theta$ 回复的线性扩散。乘以 $e^{\kappa t}$ 并用Itô 乘积公式，

X_t=\theta+(x-\theta)e^{-\kappa t} +\eta\int_0^te^{-\kappa(t-s)}\,dW_s.

随机积分的均值为零，Itô 等距给出其方差，因此

E[X_t]=\theta+(x-\theta)e^{-\kappa t},\qquad \operatorname{Var}(X_t)=\frac{\eta^2}{2\kappa}(1-e^{-2\kappa t}).

均值回复与方差趋于 $\eta^2/(2\kappa)$ 都可直接复算；随机积分的确定性被积核可由确定性阶梯函数在 $L^2$ 中逼近。对应的有限 Gaussian 和在均方下收敛，高斯过程的 Gaussian 闭包性质遂说明每个有限维向量联合高斯。

微分记号不能按普通代数随意处理。把 $dW_t/dt$ 当作有限方差随机变量会得到不存在的“白噪声函数”；Brownian 路径几乎处处不可微。即便没有噪声，积分方程也可能爆炸： $dX_t=X_t^2dt$ 、 $X_0=x>0$ 的解是 $X_t=x/(1-xt)$ ，只到 $t=1/x$ 有限。故局部可解不等于全局解，线性增长等非爆炸条件有实际作用。

另一个边界是系数不适配：若在时刻 $t$ 使用未来值 $W_T$ 作为 $\sigma_t$ ，则被积过程通常不可预测，经典 Itô 方程未定义。预见型随机微分方程需要不同积分理论，不能借相同符号省略信息结构。

推论与应用

解是连续半鞅，其局部特征由系数直接给出：

d[X^i,X^j]_t=(\sigma\sigma^\top)_{ij}(t,X_t)\,dt.

对 $f\in C^2$ 应用Itô 公式，漂移变为

\mathcal L_tf(x) =b(t,x)\cdot\nabla f(x) +\tfrac12\operatorname{tr}(\sigma\sigma^\top(t,x)D^2f(x)),

这定义扩散生成元。若方程强解唯一且系数只依赖 $(t,x)$ ，解族通常形成 Markov 过程；生成元再连接转移半群、Kolmogorov 方程和 Feynman–Kac 表示。

数值上，Euler–Maruyama 离散把每步写成 $X_{k+1}=X_k+b(t_k,X_k)h+\sigma(t_k,X_k)\Delta W_k$ 。它直接模拟积分等式，但收敛阶与稳定性取决于 Lipschitz、增长及更高正则性；方程有非唯一解或超线性系数时，朴素离散可能选错极限或矩爆炸，不能把网格变细当作无条件验证。

参考资料

Bernt Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, 6th ed., Springer, 2003, Ch. 5, §§5.1–5.2, stochastic differential equations and strong solutions。
Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed., Springer, 1991, Ch. 5, §5.2, stochastic equations and strong solutions。
L. C. G. Rogers and David Williams, Diffusions, Markov Processes and Martingales, Vol. 2, 2nd ed., Cambridge University Press, 2000, Ch. V, §§24–25, Itô diffusions and stochastic equations。

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