Girsanov 定理 | Codeboy's Blog

形式陈述

固定 $0<T<\infty$ 。设 $(\Omega,\mathcal F,(\mathcal F_t)_{0\le t\le T},P)$ 满足通常条件， $W$ 是 $d$ 维 Brownian 运动， $\theta$ 是 $\mathbb R^d$ 值可预测过程，满足 $\int_0^T\|\theta_s\|^2ds<\infty$ 几乎处处。定义

Z_t=\mathcal E\!\left(-\int_0^\cdot\theta_s^\top dW_s\right)_t =\exp\!\left( -\int_0^t\theta_s^\top dW_s-\frac12\int_0^t\|\theta_s\|^2ds \right).

假设这个随机指数是真鞅，因而 $E_PZ_T=1$ 。以

\frac{dQ}{dP}\bigg|_{\mathcal F_T}=Z_T

把 $Z_T$ 作为Radon–Nikodym 密度定义概率测度 $Q$ ，即 $Q(A)=E_P[Z_T\mathbf1_A]$ 。则

\widetilde W_t=W_t+\int_0^t\theta_sds,\qquad 0\le t\le T,

是相对于同一滤过的 $Q$ -Brownian 运动。连续随机指数严格为正，所以 $P,Q$ 在 $\mathcal F_T$ 上等价；若一般含跳密度只能保证非负，可能仅有 $Q\ll P$ ，等价性需另查终点密度严格为正。

常用的 Novikov 条件

E_P\exp\!\left(\frac12\int_0^T\|\theta_s\|^2ds\right)<\infty

保证 $Z$ 为一致可积鞅，因此是充分条件，不是定理结论的必要条件。Kazamaki 条件、Beneš 线性增长条件或直接证明 $E Z_T=1$ 都可替代。若 $Z$ 只是局部鞅且 $E Z_T<1$ ，它不能定义总质量为一且具有上述密度过程的 $Q$ 。

对连续 $P$ -局部鞅 $M$ ，更一般的表述是

\widetilde M=M-\langle M,N\rangle

在 $Q$ 下为局部鞅，其中 $N$ 是从零出发的连续 $P$ -局部鞅， $Z=\mathcal E(N)$ 是真鞅密度过程。Brownian 版本取 $N=-\int\theta\,dW$ ，便有 $\langle W,N\rangle_t=-\int_0^t\theta_sds$ ，得到上面的正号约定。

直觉

改变测度不是移动每条路径，而是重新加权同一批路径。密度 $Z_T$ 对与指定漂移方向一致的轨迹降低或提高权重，使重新加权后的增量条件均值归零。同一网格上的平方增量和在两个等价概率测度下具有相同的依概率极限，因此二次变差不变；被改变的是条件漂移，所以校正后的过程仍有 Brownian 方差与连续路径。

证明也体现这一抵消。Itô 乘积公式给出 $Z\widetilde W^i$ 的漂移为零： $Z\theta_i\,dt$ 与 $d[Z,W^i]=-Z\theta_i\,dt$ 相消。换测度的条件期望恒等式

E_Q[Y\mid\mathcal F_s]=\frac{E_P[Z_tY\mid\mathcal F_s]}{Z_s}

对有界 $\mathcal F_t$ -可测 $Y$ 成立；对局部化后的乘积使用该式及停时采样，得到 $\widetilde W$ 是 $Q$ -局部鞅。它连续且协变差为 $[\widetilde W^i,\widetilde W^j]_t=\delta_{ij}t$ ，故Lévy 刻画识别出 Brownian 运动。

符号最可靠的检查是把定义代回：密度使用 $-\int\theta dW$ 时，新 Brownian 是 $W+\int\theta ds$ 。若同时翻转两处符号，得到等价约定；只改一处会留下两倍漂移。

例子与边界

取一维常数 $\theta_s=\mu$ 。则

Z_T=\exp(-\mu W_T-\tfrac12\mu^2T), \qquad \widetilde W_t=W_t+\mu t.

正态矩母函数给 $E_PZ_T=1$ ，Novikov 也显然成立。若 $X_t=W_t+\mu t$ ，则同一坐标过程满足 $X=\widetilde W$ ，所以它在 $P$ 下有漂移、在 $Q$ 下是 Brownian 运动。对一般

dX_t=b_tdt+\sigma_t dW_t,

代入 $dW_t=d\widetilde W_t-\theta_tdt$ ，新测度下漂移变为 $b_t-\sigma_t\theta_t$ ，扩散系数不变。

Novikov 失败不等于结论失败。令 $\theta_t=aW_t$ 、 $a>0$ 。Brownian 二次泛函满足

E\exp\!\left(\frac{a^2}{2}\int_0^T W_s^2ds\right)=\infty \quad\text{当 }aT\ge\frac{\pi}{2},

这一发散可用一个 Gaussian 坐标验证。令 $e(s)=\sqrt{2/T}\sin(\pi s/(2T))$ ，则 $\int_0^T e(s)^2ds=1$ ，且 $Y=\int_0^T e(s)W_sds$ 由Gaussian 过程的均方闭包性质服从 $N(0,4T^2/\pi^2)$ 。Cauchy–Schwarz 不等式给 $\int_0^T W_s^2ds\ge Y^2$ ；正态密度直接积分说明 $E e^{a^2Y^2/2}=\infty$ 当 $aT\ge\pi/2$ 。

所以这时 Novikov 不成立。但本例可直接核验真鞅性：Itô 公式给 $\int_0^t W_s\,dW_s=(W_t^2-t)/2$ ，从而

Z_t=\exp\!\left(\frac{at}{2}-\frac{aW_t^2}{2}-\frac{a^2}{2}\int_0^tW_s^2ds\right) \le e^{aT/2}\qquad(0\le t\le T).

这个局部鞅在有限时域一致有界，因此是真鞅；Klebaner–Liptser 的 Theorem 2.1 与线性增长条件 (2.1) 也覆盖它。新测度下坐标满足 $dW_t=d\widetilde W_t-aW_tdt$ ，即 Ornstein–Uhlenbeck 方程。充分检验失败并不等于密度失效，关键是能否以别的依据证明真鞅性。

反之，三维 Bessel 倒数给出的严格局部鞅指数终点期望小于一。若把它直接当密度，所得只是次概率质量；事后除以 $E Z_T$ 会改变整个密度过程，不能继续套用原来的漂移公式。

推论与应用

若希望消去 SDE 的漂移，寻找 $\theta$ 使 $b=\sigma\theta$ ；在 $\sigma$ 不可逆时，这要求 $b$ 位于 $\sigma$ 的像空间。随后还要验证随机指数是真鞅，才能得到新测度下 $dX=\sigma\,d\widetilde W$ 。可解的线性代数条件与可积的概率条件缺一不可。

风险中性定价沿同一链条工作：选择市场风险价格 $\theta$ ，把贴现资产漂移改成零，再以新测度下的条件期望定价。扩散统计中，Girsanov 密度还给出不同漂移参数之间的似然比；因为二次变差确定扩散尺度，经典等价测度变换通常只能改漂移，试图改变非退化扩散系数往往导致路径律互相奇异。

参考资料

Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed., Springer, 1991, Ch. 3, §3.5, Girsanov theorem。
Daniel Revuz and Marc Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, 3rd ed., Springer, 1999, Ch. VIII, §1, absolutely continuous changes of probability。
Robert S. Liptser and Albert N. Shiryaev, Statistics of Random Processes I: General Theory, 2nd ed., Springer, 2001, Ch. 7, §§7.6–7.7, exponential martingales and Girsanov transformations。
Fima C. Klebaner and Robert Liptser, “When a Stochastic Exponential Is a True Martingale. Extension of the Beneš Method”, arXiv:1112.0430, 2011，Theorem 2.1 与条件 (2.1)（线性增长判据），§8.1（三维 Bessel 倒数）。

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