局部鞅 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $(\Omega,\mathcal F,(\mathcal F_t)_{t\ge0},P)$ 满足通常条件。一个适应的实值 càdlàg 过程 $M$ 称为局部鞅，若 $E|M_0|<\infty$ ，并存在递增停时 $\tau_n$ ，满足 $\tau_n\uparrow\infty$ 几乎处处，且每个停止过程

M_t^{\tau_n}=M_{t\wedge\tau_n},\qquad t\ge0,

都是连续时间真鞅。有些教材只要求 $M^{\tau_n}$ 在每个有限时域上一致可积，或要求 $M^{\tau_n}-M_0$ 为鞅；在 $M_0$ 可积等标准设定下这些版本可相互调整。本页所用“整个停止过程是真鞅”的约定本就蕴含 $M_0$ 可积；仅要求减去初值后为鞅的约定则可容纳不可积初值。若路径连续，则称连续局部鞅。

每个真鞅都是局部鞅，可取确定性 $\tau_n=n$ 。反向一般错误；局部化只保证任意固定样本路径最终不再被截断，不保证 $\{M_{t\wedge\tau_n}\}_n$ 对固定 $t$ 一致可积。局部鞅是半鞅的严格特例：其有限变差部分可取零。若局部鞅非负，它是上鞅。先用Fatou 引理得到 $E M_t\le E M_0<\infty$ 。对 $A\in\mathcal F_s$ ，事件 $A\cap\{\tau_n>s\}$ 属于 $\mathcal F_s$ ，停止鞅恒等式给出

E[M_{t\wedge\tau_n}\mathbf1_A\mathbf1_{\{\tau_n>s\}}] =E[M_s\mathbf1_A\mathbf1_{\{\tau_n>s\}}].

左侧用 Fatou，右侧由 $M_s$ 可积且指标递增到一取极限，得 $E[M_t\mathbf1_A]\le E[M_s\mathbf1_A]$ ，即上鞅性质。若再有 $E M_t=E M_0$ 对所有 $t$ 成立，非负差 $M_s-E[M_t\mid\mathcal F_s]$ 的期望为零，便恢复真鞅恒等式。

常用局部化取 $\tau_n=\inf\{t:|M_t|\ge n\}\wedge n$ ，但仅当停止后的过程确实可积并满足鞅条件时才成立；“先限制取值”并不会自动证明公平性。对随机积分，通常同时截断积分过程与其能量 $\int H^2\,d\langle M\rangle$ 。

直觉

局部鞅允许过程在远端或罕见路径上失去全局可积控制，只要求在触及这些危险区域前保持公平。每条路径最终能穿过任意一个固定局部窗口，因此局部微分运算仍可靠；但随着窗口扩大，极少数巨大取值可能携带不可忽略的期望质量，阻止把停止极限交换进条件期望。

这正是“局部”与“很短时间内”不同之处。局部化由随机停时决定，可以跟随路径在何时变得危险；它也不是逐点性质，因为真鞅要求整体分布的可积性。局部鞅保留足够的微分结构用于 Itô 计算，却有意放弃部分全局期望结论。

例子与边界

最简单的例子是 Brownian 运动及其有界停止。若 $\tau_n=\inf\{t:|W_t|\ge n\}$ ，则 $W^{\tau_n}$ 有界于 $n$ ，从而是真鞅；这里原过程本来就是真鞅，局部化只是展示机制。

严格局部鞅可由三维 Bessel 过程给出。它的半径平方属于平方 Bessel 过程；下面考察半径倒数，以展示局部鞅与真鞅的差别。令 $R_0=r>0$ ，

dR_t=dW_t+\frac1{R_t}\,dt,

三维半径从正点出发不碰零，且在有限时间内不爆炸。置 $M_t=1/R_t$ ，并在离开 $(1/n,n)$ 时停止；这些停时递增到无穷。把 $f(x)=1/x$ 在该闭区间附近保留、在外部光滑延拓后，便可应用Itô 公式， $f'=-x^{-2}$ 、 $f''=2x^{-3}$ ，漂移项

-R_t^{-2}\frac1{R_t}+\frac12(2R_t^{-3})=0,

故 $dM_t=-R_t^{-2}dW_t$ ，在离开区间 $(1/n,n)$ 前是平方可积鞅，因此 $M$ 为正局部鞅。这个期望还可直接算出。半径 $R_t$ 与三维 Gaussian 向量 $(r+W_t^1,W_t^2,W_t^3)$ 的长度同分布；对角度积分得到径向密度

p_t(r,y)=\frac{y}{r\sqrt{2\pi t}} \left(e^{-(y-r)^2/(2t)}-e^{-(y+r)^2/(2t)}\right),\qquad y>0.

乘以 $1/y$ 再积分，便得到

E_r[M_t]=\frac1r\left(2\Phi\!\left(\frac r{\sqrt t}\right)-1\right)<\frac1r=M_0 \quad(t>0),

所以它不是真鞅。损失的期望对应停止近似中向大值尾部逃逸的质量；这不是修改零测集可以修复的问题。

局部化也不能挽救不适应过程。即使对每条路径选一个“看起来安全”的随机截断，只要截断时刻偷看未来、不是停时，停止过程就没有可选采样依据。定义中的停时与适应性因此都是实质约束。

推论与应用

局部鞅允许把有界积分理论推广到仅局部平方可积的可预测被积过程：先用能量停时把积分截成平方可积鞅，在每个窗口内证明恒等式，再以 ucp 或依概率收敛拼接成全局过程。这一构造不自动保留 $L^1$ 期望等式；若应用需要定价或测度密度，还必须另证真鞅或一致可积性。

非负局部鞅的上鞅性质给出 Fatou 型控制，也是严格局部鞅泡沫模型的数学来源：局部无漂移并不保证当前值等于未来期望。连续局部鞅的二次变差进一步提供随机时间尺度，令停止和时间变换定理能够把局部问题归约到 Brownian 运动；半鞅理论则在此基础上加入适应的有限变差部分；要求该部分可预测时得到特殊半鞅的规范分解。连续 SDE 漂移属于后一种情形。

参考资料

Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, 2nd ed., version 2.1, Springer, 2005, Ch. I, §§4–6, local martingales and localization。
Daniel Revuz and Marc Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, 3rd ed., Springer, 1999, Ch. IV, §1, continuous local martingales and quadratic variation。
Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed., Springer, 1991, Ch. 3, §3.3, Bessel processes and strict local martingale examples。
Gregory F. Lawler, Notes on Bessel Process，书稿 Chapter 2，§2.2, Proposition 2.2.1 与 §2.2.2；参数 $a=(d-1)/2$ 、零边界和径向转移密度。

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