停时

形式陈述 ​

设 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},({\mathcal{F}}_n{)}_{n\ge 0},\mathbb{P})$ 是带滤过的离散时间概率空间。取值于 ${\mathbb{N}}_0\cup \{\mathrm{\infty }\}$ 的随机变量 $\tau$ 称为关于滤过 $({\mathcal{F}}_n)$ 的停时，如果对每个 $n$，

$$\{\tau \le n\}\in {\mathcal{F}}_n.$$

这个条件表示到时刻 $n$ 为止已有的信息足以判断“是否已经停止”。在离散时间中，它等价于 $\{\tau =n\}\in {\mathcal{F}}_n$ 对每个 $n$ 成立。停时可以取 $\mathrm{\infty }$，因此定义本身不保证过程最终停止。

对适应过程 $(X_n)$，停止过程定义为

$$X_n^{\tau }=X_{n\wedge \tau }.$$

它在停止前沿用原过程，停止后保持在 $X_{\tau }$。与停时相伴的停止 $\sigma$-代数可写为

$${\mathcal{F}}_{\tau }=\{A\in \mathcal{F}:A\cap \{\tau \le n\}\in {\mathcal{F}}_n\text{ 对所有 }n\},$$

用来表达“停止发生时已经知道的事件”。

直觉 ​

停时不是预先固定的钟表时刻，而是一条只阅读到目前为止记录的停止规则。规则可以随着路径变化：第一次出现正面、账户第一次触及边界、队列第一次清空，都可能发生在不同时间；但站在任意时刻回看，是否已经触发必须立刻可判定。这个信息限制正是停时与任意随机索引的区别。

把过程停住也不仅是符号技巧。$X_{n\wedge \tau }$ 把随机长度的路径转成每个确定时刻都有定义的过程，于是能先对固定 $n$ 使用条件期望，再研究 $n\to \mathrm{\infty }$ 时是否可以交换极限与期望。可选停止定理中的许多条件，正是在控制这一步会不会把概率质量漏到无穷远。

例子与边界 ​

令 $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$，其中逐次增量在时刻 $n$ 后才被观察。首次到达集合 $B$ 的时刻

$${\tau }_B=inf\{n\ge 0:S_n\in B\}$$

是自然滤过下的停时，因为事件 $\{{\tau }_B\le n\}$ 只需检查 $S_0,\dots ,S_n$。首次出现连续三次正面也同样是停时：到当前为止的抛掷记录已经足够判断模式是否出现。

相反，“最后一次到达零点”通常不是停时。即使此刻位于零点，也必须知道未来会不会再次返回，才能确认这是不是最后一次。固定终点前最大值首次出现的时刻也常依赖后续路径。另一个容易忽略的边界是：同一个随机时刻可相对于较丰富的滤过成为停时，却相对于较贫乏的滤过不是；停时总是关于指定信息流的概念。

推论与应用 ​

滤过与适应过程公理库滤过与适应过程Filtration · Adapted process · Natural filtration以递增 σ-代数表示信息积累，并刻画过程在每一时刻不使用未来信息。提供信息时间线，停时把路径驱动的停止规则放进这条时间线。若 $(M_n)$ 是鞅公理库鞅Martingale · Submartingale · Supermartingale在当前全部信息下，下一步条件均值等于当前值的可积适应过程。，则停止过程 $(M_{n\wedge \tau })$ 仍是鞅；但从这一事实走到 $\mathbb{E}{M}_{\tau }=\mathbb{E}{M}_0$ 还需要有界性、一致可积等额外条件，详见可选停止定理公理库可选停止定理Optional stopping theorem · Optional sampling theorem在足以控制随机停止与极限交换的条件下，鞅的期望在停时前后保持不变。。

首次到达时间把概率问题转成边界问题，广泛用于 gambler's ruin、随机游走、排队系统和序贯检验。算法中“运行到证书出现”为止也常形成停时，不过期望运行时间与几乎处处有限仍须单独证明。

参考资料

• David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991，Ch. 10, stopping times and stopped processes。
• MIT 6.436J/15.085J, Fundamentals of Probability, Martingales lecture notes，stopping times and optional sampling。