序贯概率比检验

算法 ​

检验简单假设 $H_0:P=P_0$ 对 $H_1:P=P_1$。观测依次到达，累计似然比

$${\mathrm{\Lambda }}_n=\prod _{i=1}^n\frac{p_1(X_i)}{p_0(X_i)},Z_n=\log {\mathrm{\Lambda }}_n.$$

选边界 $0<B<1<A$：若 ${\mathrm{\Lambda }}_n\ge A$ 停止并拒绝 $H_0$；若 ${\mathrm{\Lambda }}_n\le B$ 停止并接受 $H_0$；居中则继续。停止时间

$$\tau =inf\{n:{\mathrm{\Lambda }}_n\notin (B,A)\}$$

相对于观测过滤是停止时刻公理库停时Stopping time · 停止时刻是否已经发生可由当前信息判断、因而不依赖未来的随机时刻。。

Wald 近似边界为 $A\approx (1-\beta )/\alpha$、$B\approx \beta /(1-\alpha )$，目标第一、第二类错误分别为 $\alpha ,\beta$。离散步长会越界，实际错误通常只近似目标，可用精确递推或模拟校准。

状态轨迹 ​

每个观测把 log likelihood ratio 增加

$$Y_i={\log }^{p_1(X_i)/p_0(X_i)}.$$

在 $P_1$ 下其均值是 $D(P_1\Vert P_0)>0$，轨迹倾向上边界；在 $P_0$ 下均值为 $-D(P_0\Vert P_1)<0$，倾向下边界。困难样本会在中间徘徊，自动收集更多数据。

Bernoulli $p_0=0.4,p_1=0.6$ 时，成功增加 $\log \left(1.5\right)$，失败增加 $\log \left(2/3\right)$。证据逐步加总，不是每一步重新做独立固定样本检验。

性质 ​

在满足误差约束的序贯检验中，SPRT 对两个简单假设具有期望样本量最优性质。证明使用似然比鞅、可选停止和信息下界；它不是NP 引理公理库Neyman–Pearson 引理Neyman–Pearson lemma简单零假设对简单备择下，给定显著性约束时似然比阈值检验具有最大功效。的直接固定样本复述。

错误界与期望样本量 ​

若忽略越界 overshoot，$A\approx (1-\beta )/\alpha$、$B\approx \beta /(1-\alpha )$ 来自终止似然比的两点近似。严格控制使用 likelihood-ratio martingale 与可选停止；离散增量使实际终值越过边界，因此公式只是近似。

取 $p_0=0.4,p_1=0.6$ 且 $\alpha =\beta =0.05$，log 边界约 $\pm 2.944$。成功增量 $\log 1.5\approx 0.405$，失败增量 $\log \left(2/3\right)\approx -0.405$。连续八次成功使轨迹到 $3.24$ 并拒绝；成功失败交替则证据抵消并继续。

在 $P_1$ 下单步平均增量为 $D(P_1\Vert P_0)>0$，期望样本量近似

$$E_1\tau \approx \frac{(1-\beta )\log A+\beta \log B}{D(P_1\Vert P_0)}.$$

两假设越近，KL 越小，平均等待越长。这是序贯效率的定量来源。

边界 ​

普通固定样本 p 值反复查看并停止不等于 SPRT，会膨胀错误率。SPRT 边界、假设和停止规则必须预先规定。

真实分布位于 $P_0,P_1$ 之间时，停止时间可能很长；必须设计最大样本量、截断规则及相应再校准。依赖观测会破坏独立似然乘积。

截止时强制决定会改变两类错误，不能沿用无限期 SPRT 的保证。自适应抽样还要使用给定历史的条件 likelihood ratio；忽略动作机制可能破坏鞅性质。

复合假设的 mixture SPRT、GLR 序贯检验需先验或估计 nuisance 参数，各有不同保证。

似然比过程在 $H_0$ 下是非负均值一鞅，因此 Ville 不等式给

$$P_0(\underset{n}{sup}{\mathrm{\Lambda }}_n\ge 1/\alpha )\le \alpha .$$

只用上边界即可构造 anytime-valid 检验；双边 SPRT 还要同时设计接受错误。这个鞅界不要求预先固定查看次数，却要求 likelihood ratio 条件正确。

实际试验常采用 group sequential：只在若干预定 information times 查看统计量。Pocock 边界近似均匀分配严格程度，O'Brien–Fleming 早期更严、后期接近固定样本阈值。两者不是 SPRT 的简单离散化，需整体计算 alpha spending。

expected sample size 最优性针对两个简单假设和给定错误上限。加入观察成本、延迟结局、批量采样或第三种行动后，动态规划可能给不同边界。

报告序贯结果应包含计划边界、实际停止时刻、越界方向、最大样本规则和是否存在未成熟结局。只报告停止时普通 p 值会抹掉路径依赖。

若两类错误代价不对称，边界距离也应不对称：更严格控制误拒 $H_0$ 会提高上边界，通常延长在 $P_1$ 下作出拒绝所需证据。边界设计把错误预算转成样本量权衡，不存在同时无限降低两类错误且不增加观测的免费选择。

SPRT 接受 $H_0$ 是在指定 $P_0$ 与 $P_1$ 二点决策中选择前者，不证明现实参数精确等于 ${\theta }_0$。indifference region 的选择决定“接受”实际含义。

参考资料

• Abraham Wald, Sequential Analysis, Wiley, 1947。
• David Siegmund, Sequential Analysis, Springer, 1985。
• Tze Leung Lai, “Sequential Analysis: Some Classical Problems and New Challenges,” Statistica Sinica 11, 2001。