序贯概率比检验

每个观测把 log likelihood ratio 增加

当对数比在两个分布下可积时，在 $P_1$ 下其均值是KL 散度理路KL 散度Kullback–Leibler divergence · Relative entropy同一可测空间上分布 P 相对于 Q 的对数 Radon–Nikodym 导数在 P 下的积分。 $D(P_1\Vert P_0)>0$，轨迹倾向上边界；在 $P_0$ 下均值为 $-D(P_0\Vert P_1)<0$，倾向下边界。这里的对数与 KL 都取自然对数。困难样本会在中间徘徊，自动收集更多数据。

Bernoulli $p_0=0.4,p_1=0.6$ 时，成功增加 $\log \left(1.5\right)$，失败增加 $\log \left(2/3\right)$。证据逐步加总，不是每一步重新做独立固定样本检验。

实现时递推 $Z_n=Z_{n-1}+\log p_1(X_n)-\log p_0(X_n)$。每个观测完成两次对数密度求值后，只需常数次算术运算和边界比较；保存累计对数比与样本计数即可，无需保留全部观测。密度求值的成本、数值精度及计数器位宽应另计，总处理量取决于数据决定的停止次数 $\tau$。

与固定样本检验的关系 ​

Wald–Wolfowitz 最优性比较的是两个 IID 简单假设下的序贯检验，并以所选 SPRT 实际达到的两类错误概率为约束。在相应停止与期望有限条件下，任何两类错误都不更大的竞争检验，在 $P_0$ 和 $P_1$ 下的期望样本量都不会更小。近似边界公式中的名义 $\alpha ,\beta$ 不能直接冒充实际错误概率。这是关于完整停止规则的结论，不是NP 引理理路Neyman–Pearson 引理Neyman–Pearson lemma简单零假设对简单备择下，给定显著性约束时似然比阈值检验具有最大功效。的固定样本复述。

错误界与期望样本量 ​

若忽略越界 overshoot，$A\approx (1-\beta )/\alpha$、$B\approx \beta /(1-\alpha )$ 来自终止似然比的两点近似。严格控制使用 likelihood-ratio martingale 与可选停止；离散增量使实际终值越过边界，因此公式只是近似。

取 $p_0=0.4,p_1=0.6$ 且 $\alpha =\beta =0.05$，log 边界约 $\pm 2.944$。成功增量 $\log 1.5\approx 0.405$，失败增量 $\log \left(2/3\right)\approx -0.405$。连续八次成功使轨迹到 $3.24$ 并拒绝；成功失败交替则证据抵消并继续。

在 $P_1$ 下单步平均增量为 $D(P_1\Vert P_0)>0$，期望样本量近似

两假设越近，KL 越小，平均等待越长。这是序贯效率的定量来源。

边界与失败情形 ​

普通固定样本 p 值反复查看并停止不等于 SPRT，会膨胀错误率。SPRT 边界、假设和停止规则必须预先规定。

真实分布位于 $P_0,P_1$ 之间时，停止时间可能很长；必须设计最大样本量、截断规则及相应再校准。依赖观测会破坏独立似然乘积。

截止时强制决定会改变两类错误，不能沿用无限期 SPRT 的保证。自适应抽样还要使用给定历史的条件 likelihood ratio；忽略动作机制可能破坏鞅性质。

复合假设的 mixture SPRT、GLR 序贯检验需先验或估计 nuisance 参数，各有不同保证。

在本页的 IID 与绝对连续假设下，$E_0[p_1(X_i)/p_0(X_i)]=1$，下一项比值又独立于过去，所以似然比过程在 $H_0$ 下是非负均值一鞅。因此 Ville 不等式理路Ville 不等式Ville's inequality · Ville inequality非负上鞅在无限时间内达到给定水平的概率，由初始期望除以该水平控制。给

只用上边界即可构造 anytime-valid 检验；双边 SPRT 还要同时设计接受错误。这个鞅界不要求预先固定查看次数，却要求 likelihood ratio 条件正确。

实际试验常采用 group sequential：只在若干预定 information times 查看统计量。Pocock 边界近似均匀分配严格程度，O'Brien–Fleming 早期更严、后期接近固定样本阈值。两者不是 SPRT 的简单离散化，需整体计算 alpha spending。

expected sample size 最优性针对两个简单假设和给定错误上限。加入观察成本、延迟结局、批量采样或第三种行动后，动态规划可能给不同边界。

报告序贯结果应包含计划边界、实际停止时刻、越界方向、最大样本规则和是否存在未成熟结局。只报告停止时普通 p 值会抹掉路径依赖。

若两类错误代价不对称，边界距离也应不对称：更严格控制误拒 $H_0$ 会提高上边界，通常延长在 $P_1$ 下作出拒绝所需证据。边界设计把错误预算转成样本量权衡，不存在同时无限降低两类错误且不增加观测的免费选择。

SPRT 接受 $H_0$ 是在指定 $P_0$ 与 $P_1$ 二点决策中选择前者，不证明现实参数精确等于 ${\theta }_0$。indifference region 的选择决定“接受”实际含义。

固定起点与未知改变起点会产生不同的预算。CUSUM理路CUSUM 变点检测CUSUM change detection · Page CUSUM · 累积和变点检测对所有可能的改变起点取最大似然比，用可重置递推监测分布变化，并以运行长度而非无限期错误概率校准阈值。把从各个可能起点到现在的似然积取最大，失败证据足够多时允许重置；SR理路Shiryaev–Roberts 变点检测Shiryaev–Roberts detection · Shiryaev-Roberts procedure · SR 变点检测 · Generalized Shiryaev–Roberts procedure对每个可能改变起点的似然比求和，以带新增单位预算的递推监测变化，并通过有界停止证明平均误报等待下界。则把这些积相加。重启或新增候选并不继承本页固定似然过程的无限期错误界。在正常成功概率$1/3$、改变后$2/3$的CUSUM例子中，阈值$8$的平均误报等待为$33$，但最终误报概率仍为一；应明确比较的是错误概率还是平均运行长度。

SPRT 把固定样本的Neyman–Pearson 引理理路Neyman–Pearson 引理Neyman–Pearson lemma简单零假设对简单备择下，给定显著性约束时似然比阈值检验具有最大功效。作为对照，却把证据过程与停止规则一并纳入检验设计。其 likelihood-ratio 鞅进一步通向随时有效的证据过程理路检验鞅与 e-processTest martingale · Test supermartingale · e-process · 检验上鞅区分固定时刻的 e 值与可在停时读取的证据过程，并用非负检验上鞅构造随时有效检验。；逐个候选参数反演这种检验可得到置信序列理路置信序列Confidence sequence · Anytime-valid confidence sequence · 时间一致置信序列一列随数据更新的随机置信集合，以规定概率在所有时间同时覆盖同一个固定参数目标。；普通固定样本p 值理路p 值p-value在零假设下校准的证据统计量，其小值事件的概率不超过对应阈值。若被反复查看则没有这项保证。复合假设、分组查看与强制最大样本量都需要重新校准，不能只保留原边界数字。