统计假设检验

形式陈述 ​

在模型 $\{P_{\theta }:\theta \in \mathrm{\Theta }\}$ 中，把参数空间分成不相交集合 ${\mathrm{\Theta }}_0$ 与 ${\mathrm{\Theta }}_1$。零假设和备择假设分别为

$$H_0:\theta \in {\mathrm{\Theta }}_0,H_1:\theta \in {\mathrm{\Theta }}_1.$$

检验函数是可测映射

$$\phi :\mathcal{X}\to [0,1].$$

观察到 $X=x$ 后，以概率 $\phi (x)$ 拒绝 $H_0$。取值仅为 $0,1$ 时是非随机化检验，拒绝域为 $C=\{x:\phi (x)=1\}$。检验的功效函数是

$${\beta }_{\phi }(\theta )={\mathbb{E}}_{\theta }[\phi (X)],\theta \in \mathrm{\Theta },$$

即参数为 $\theta$ 时的拒绝概率。

检验的 size 定义为复合零假设上的最坏拒绝概率

$$\mathrm{size}(\phi )=\underset{\theta \in {\mathrm{\Theta }}_0}{sup}{\mathbb{E}}_{\theta }[\phi (X)].$$

若该值不超过预先指定的 $\alpha \in (0,1)$，则称 $\phi$ 是 level-$\alpha$ 检验。size 是实际可达到的上确界，level 是允许的上界；一个 level-$0.05$ 检验的 size 可以是 $0.032$。

直觉 ​

检验先承诺控制一种错误：当零假设中任一分布生成数据时，错误拒绝的概率不超过 $\alpha$。然后在这个约束下争取对备择参数有较高拒绝概率。它不是给两个假设计算“相信程度”，而是设计一条重复使用时具有频率保证的决策规则。

复合假设中的上确界不可省略。只在某个方便的零参数点满足 $5\mathrm{\%}$ 拒绝率，并不能保证整个零假设都受控；最不利参数可能在边界或内部另一处。

例子与计算 ​

设 $X_1,\dots ,X_{10}$ 独立 Bernoulli$(p)$，检验

$$H_0:p\le \frac{1}{2}\text{对}{H}_1:p>\frac{1}{2}.$$

令 $S=\sum _i{X}_i$，采用拒绝域 $S\ge 9$。由于 $P_p(S\ge 9)$ 随 $p$ 单调增加，零假设上的最坏点是 $p=1/2$，故 size 为

$$P_{1/2}(S\ge 9)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{9})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{10})}{2^{10}}=\frac{11}{1024}\approx 0.0107.$$

它是 level-$0.05$ 检验，但较保守。若拒绝域改为 $S\ge 8$，size 为

$$\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{8})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{9})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{10})}{2^{10}}=\frac{56}{1024}\approx 0.0547,$$

已超过 $0.05$。可在 $S=8$ 时以适当概率随机拒绝，使 size 精确达到 $0.05$；随机化是离散样本空间中填补概率跳跃的数学工具。

具体地，保留 $S\ge 9$ 时必拒绝，并在 $S=8$ 时以概率

$$\gamma =\frac{0.05-11/1024}{45/1024}\approx 0.894$$

拒绝。于是边界参数 $p=1/2$ 下总拒绝率恰为 $0.05$。规则的随机币必须独立于样本且预先规定；观察到 $S=8$ 后再凭研究者判断是否拒绝，不是这一可复现的随机化检验。

边界与失败情形 ​

“未拒绝 $H_0$”不等于证明或接受 $H_0$。它只表示当前数据没有越过这条按第一类错误校准的拒绝边界；样本量小或备择接近零假设时，检验可能缺乏功效。

检验必须在看数据前固定规则或完整选择流程。先尝试许多统计量、只报告最显著者，却仍按单次检验的 $\alpha$ 解释，会使真实 size 膨胀。选择、停止和多重比较都必须进入概率计算。

显著性不等于实际重要性。样本量很大时，极小效应也可能稳定拒绝精确零假设；效应大小与不确定性应另外报告。反之，未显著也不能推出效应为零。

检验结论依赖模型。若独立性、分布族或抽样机制不成立，名义 level 未必等于真实错误上界；稳健标准误或置换方法也各有自己的有效条件。

推论与应用 ​

简单零假设对简单备择下，Neyman–Pearson 引理说明在固定 level 内，似然比阈值检验具有最大功效。复合备择通常不存在对所有参数同时最强的检验，需要不变性、单调似然比或局部最优等附加结构。

检验可看作统计决策规则公理库估计量、决策规则与风险Estimator and decision rule · Statistical risk将观测映为行动的规则，以及在每个参数下对抽样随机性平均后的损失。：行动为拒绝或不拒绝，损失按真实假设与行动赋值。置信集合通过反演一族 level-$\alpha$ 检验得到，其覆盖率保证与对应检验的 size 控制互为两面。

参考资料

• Erich L. Lehmann and Joseph P. Romano, Testing Statistical Hypotheses, 3rd ed., Springer, 2005，Ch. 3。
• George Casella and Roger L. Berger, Statistical Inference, 2nd ed., Duxbury, 2002，Ch. 8。
• E. L. Lehmann, Testing Statistical Hypotheses, 2nd ed., Springer, 1986，Ch. 1–3。