错误发现率与 Benjamini–Hochberg

BH 不要求每一次拒绝都正确，而是控制重复实验中“错误发现占全部发现的比例”的期望。排序阈值会随已接受的发现数放宽：证据很强的前几项可以为后续项提供更大的临界值，但整条阶梯仍由预先给定的 $q$ 约束。

$m=5,q=0.1$，排序 p 值 $(0.01,0.03,0.045,0.20,0.40)$，阈值 $(0.02,0.04,0.06,0.08,0.10)$。最大通过秩为 3，因此拒绝前三个。注意第二项通过并不要求第四项通过；算法取最大通过秩。

控制机制与 adjusted p 值 ​

独立情形把 FDR 分解为

将一个真实 p 值设为零并利用 step-up 的自洽性，可把每项界为 $q/m$，总计 $m_{0}q/m$。这一步依赖真实 p 值的超均匀性及合适独立/正依赖结构。

BH adjusted p 值从后向前计算：

后缀最小保证调整值单调。本例前三个均不超过 $0.075$，第四个为 $0.25$，因此目标 $q=0.1$ 时拒绝前三项。

边界 ​

“FDR 10%”不表示本次三个发现中恰有 0.3 个错误，也不保证每次 FDP 不超过 10%。它是重复实验的期望准则，单次 FDP 可能很高。

负依赖、选择性过滤或经过数据依赖权重处理的 p 值可能破坏普通 BH 证明。过滤若独立或满足特定结构可安全使用，否则需联合校准。

无效的单项 p 值不会被 BH 修复。可选停止、模型选择和事后扩展发现集合都会改变输入或 $R,V$ 的定义，必须把完整流程纳入保证。

FDR 与FWER公理库多重检验与族错误率Multiple testing · Familywise error rate · FWER同时检验多个假设时至少一次错误拒绝的概率及其 Bonferroni、Holm 控制。不同：前者允许在发现多时容忍少量错误，后者控制任何错误发生。选择哪个准则应由损失和应用风险决定。

基因组、成像和大规模 A/B 指标常使用 BH。它与控制“至少一次错误”的FWER 方法公理库多重检验与族错误率Multiple testing · Familywise error rate · FWER同时检验多个假设时至少一次错误拒绝的概率及其 Bonferroni、Holm 控制。回答不同风险问题；应用时应先选择与损失相符的错误准则，再核对 p 值有效性和依赖条件。

BH 的 self-consistency 可写为 $\mathcal{R}=\{i:p_i\le qR/m\}$。这说明每个发现共享由最终拒绝数决定的自适应阈值：发现越多，允许阈值越宽；证明必须同时处理这个随机 $R$，不能把它当固定常数。

扩展地图 ​

任意依赖下，Benjamini–Yekutieli 把阈值除以 $H_m=\sum _{i=1}^{m}1/i$，以约 $\log m$ 的功效代价换取稳健控制。加权或分层 BH 可以利用外部协变量提高功效，但权重需预先归一化，并与对应真实零 p 值保持所需独立性；数据驱动权重通常要靠样本切分或 independent hypothesis weighting 一类条件校准。

Storey 方法估计 ${\pi }_0=m_0/m$ 后放宽阈值，q-value 则表示使某项进入发现集所需的最小目标 FDR。二者都依赖额外估计条件；q-value 类似 adjusted p 值，却不是“该项为假发现”的后验概率。后者属于 local false discovery rate $P(H_i\text{ null}\mid Z_i=z)$，需要零与备择的混合模型。

online FDR 处理按时间到达的假设，阈值 ${\alpha }_t$ 只能依赖过去信息；LORD、SAFFRON 等程序通过 alpha-wealth 维持序贯约束。把离线 BH 反复应用于不断增长且可选择停止的列表，并不自动获得 anytime 保证。

若目标是让单次实验的 FDP 以高概率不超过阈值，应改用 FDP tail control 或 simultaneous FDP bounds。它们控制的对象比期望 FDR 更强，通常也会牺牲发现数，不能作为普通 BH 的同义改写。