置信集合与检验的对偶

形式陈述 ​

对每个 ${\theta }_0\in \mathrm{\Theta }$，设 ${\phi }_{{\theta }_0}(X)$ 是检验点零假设 $H_0:\theta ={\theta }_0$ 的非随机化 level-$\alpha$ 检验：

$$P_{{\theta }_0}({\phi }_{{\theta }_0}(X)=1)\le \alpha .$$

定义未被拒绝参数组成的随机集合

$$C(X)=\{{\theta }_0:{\phi }_{{\theta }_0}(X)=0\}.$$

则对任意 $\theta$，

$$P_{\theta }(\theta \in C(X))=P_{\theta }({\phi }_{\theta }(X)=0)\ge 1-\alpha ,$$

所以 $C$ 是覆盖至少 $1-\alpha$ 的置信集合公理库置信区间Confidence interval · Confidence set由样本决定、在重复抽样下以规定概率覆盖固定参数目标的随机集合。。

反向地，若随机集合 $C(X)$ 满足 $P_{\theta }(\theta \in C(X))\ge 1-\alpha$，定义检验

$${\phi }_{{\theta }_0}(X)=\mathbf{1}\{{\theta }_0\notin C(X)\},$$

则它对每个点零假设都是 level-$\alpha$。对偶来自同一事件的补集，不是近似类比。

状态轨迹 ​

检验族从“固定候选参数，观察数据后是否拒绝”出发；反演时固定数据，扫描所有候选参数，把未拒绝者保留下来。两个步骤交换了哪一项固定，却使用同一拒绝关系。

若检验统计量为 $T(X,{\theta }_0)$，拒绝域为 $T>c_{\alpha }({\theta }_0)$，置信集合就是解不等式

$$T(X,{\theta }_0)\le c_{\alpha }({\theta }_0)$$

所得的全部 ${\theta }_0$。该集合未必是单一区间；非单调统计量可产生不连通集合。

例子与计算 ​

正态均值、已知方差时，双侧 $z$ 检验在

$$\left|\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-{\mu }_0)}{\sigma }\right|>z_{1-\alpha /2}$$

时拒绝。保留所有不满足拒绝不等式的 ${\mu }_0$，得到

$$|\overline{X}-{\mu }_0|\le z_{1-\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},$$

即

$$C(X)=[\overline{X}-z_{1-\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{1-\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}].$$

因此 $H_0:\mu ={\mu }_0$ 在 level $\alpha$ 被拒绝，当且仅当 ${\mu }_0$ 不在对应 $1-\alpha$ 区间中。单侧检验反演为单侧置信界，而非同一个双侧区间。

复合假设与随机化 ​

若检验复合零假设 $H_0:\theta \in A$，可在参数空间中组织嵌套集合，但逐点反演最直接。nuisance 参数的 sup 校准、条件检验或 profile 处理会决定反演集合的覆盖。

随机化检验令 $\phi \in [0,1]$，反演后严格说得到随机化置信程序，还需同一额外随机币决定边界参数是否纳入。忽略随机化会改变离散模型的精确覆盖。

边界与失败情形 ​

“p 值大于 $\alpha$”与“参数在区间内”等价，前提是 p 值、检验方向、尾部分配和区间来自同一嵌套检验族。混用不同校准方法会破坏对偶。

未拒绝的参数不等于被证明为真；置信集合整体覆盖是程序性质。集合中各点的“可信度”不是频率学后验概率。

若只对每个固定参数有渐近 level，反演只给点态渐近覆盖；参数靠近边界时可能不统一。有限样本对偶不会把渐近检验升级为精确区间。

p 值函数可一并反演：若 $p_x({\theta }_0)$ 来自同一嵌套检验族，则 $C_{\alpha }(x)=\{{\theta }_0:p_x({\theta }_0)>\alpha \}$。当 p 值关于参数不单调时，集合可能不连通；把最小、最大端点间全部补齐会增加覆盖，却不再是原检验的精确反演。

对目标 $g(\theta )$，可检验纤维零假设 $g(\theta )=u$ 并反演 $u$。每个纤维内的 nuisance 参数都必须共同控制 size；plug-in 一个 nuisance 估计值或只挑最有利值，会产生另一套覆盖性质，不能沿用原对偶保证。

推论与应用 ​

等效性检验反演可得到落在预设容忍范围内的区间判据；多参数似然比检验反演产生 profile likelihood 区域。

对偶允许在检验和区间之间选择更容易证明或计算的一侧，但所有 nuisance 与选择步骤必须同步带过去。

若检验族具有嵌套性，改变 $\alpha$ 会产生嵌套置信集合；若每个水平独立设计而拒绝域不嵌套，反演仍可逐水平覆盖，却无法用单一 p 值函数编码全部结果。报告整条置信曲线时必须验证这种跨水平协调。

对有限多个参数的同时置信集合，检验对象应是相应联合零假设或经多重性校准的检验族。逐参数各自 $95\mathrm{\%}$ 覆盖不等于所有坐标同时 $95\mathrm{\%}$ 覆盖，对偶会把同一个 multiplicity 问题原样带到集合侧。

参考资料

• Erich L. Lehmann and Joseph P. Romano, Testing Statistical Hypotheses, 3rd ed., Springer, 2005，§3.5。
• George Casella and Roger L. Berger, Statistical Inference, 2nd ed., Duxbury, 2002，Ch. 9。
• David R. Cox and David V. Hinkley, Theoretical Statistics, Chapman & Hall, 1974，Ch. 7。