Karlin–Rubin 定理

对每个固定备择 ${\theta }_1>{\theta }_0$，Neyman–Pearson 引理选择似然比大的区域。MLR 保证这些区域对所有 ${\theta }_1$ 都是同一统计量的上尾。另一方面，功效随参数单调，复合零假设中的最大拒绝概率出现在边界 ${\theta }_0$。两步合起来，把“每一对简单假设最强”升级为“整个单侧备择同时最强”。

若 $S\sim \mathrm{Binomial}(n,p)$，检验

时，大成功次数拒绝。取 $n=2,p_0=1/2,\alpha =0.1$，边界处 $P(S=2)=1/4$。选择 $c=2,\gamma =0.4$：只有两次均成功时才以概率0.4拒绝。功效为 $\beta (p)=0.4p^2$，在 $p\le 1/2$ 上最大为0.1，而在 $p=3/4$ 时为0.225。若禁止随机化，任何非空确定性上尾区域的边界概率至少为1/4，不能达到0.1；此时保守阈值甚至会从不拒绝。随机化解决的是离散概率无法精确分割的问题。

独立同分布、已知方差 ${\sigma }^2$ 的正态样本中，$T=\overline{X}$，检验

的 UMP 规则为

双侧备择通常不存在对两方向同时 UMP 的单一检验。存在 干扰参数、支撑随参数变化或 MLR 不成立时，定理不能机械套用；可能需要条件检验、不变检验或只在 无偏检验类中求最优。

为何边界最强足够 ​

写 ${\beta }_{\psi }(\theta )=E_{\theta }\psi (X)$。任意复合零假设下水平不超过 $\alpha$ 的竞争检验 $\psi$，必满足 ${\beta }_{\psi }({\theta }_0)\le \alpha$。固定任意 ${\theta }_1>{\theta }_0$，Neyman–Pearson 引理公理库Neyman–Pearson 引理Neyman–Pearson lemma简单零假设对简单备择下，给定显著性约束时似然比阈值检验具有最大功效。和 MLR 给出 ${\beta }_{\psi }({\theta }_1)\le {\beta }_{\phi }({\theta }_1)$。由于上尾拒绝函数非减，MLR 的随机序又保证 ${\beta }_{\phi }(\theta )\le {\beta }_{\phi }({\theta }_0)=\alpha$ 对所有零假设参数成立。前一句比较功效，后一句确认候选检验属于允许的竞争类，缺少任一步都不能推出 UMP。

检验反演给出单侧置信界。正态均值右尾检验反演为下置信界

同一边界拒绝概率控制保证覆盖率。

本定理依赖Neyman–Pearson 引理公理库Neyman–Pearson 引理Neyman–Pearson lemma简单零假设对简单备择下，给定显著性约束时似然比阈值检验具有最大功效。作为简单假设比较工具；MLR 是使所有比较共享同一阈值结构的额外条件。它不把双侧、复合 干扰参数或序贯停止问题自动纳入结论。