Karlin–Rubin 定理

形式陈述 ​

设 $\{P_{\theta }:\theta \in \mathrm{\Theta }\subseteq \mathbb{R}\}$ 对统计量 $T$ 具有单调似然比公理库单调似然比Monotone likelihood ratio · MLR property任意较大参数对较小参数的似然比都随同一统计量单调的分布族结构。。考虑如下统计假设检验公理库统计假设检验Statistical hypothesis test · Test function在零假设与备择假设之间作出随机化决定，并对零假设下拒绝概率实施一致控制。：

$$H_0:\theta \le {\theta }_0,H_1:\theta >{\theta }_0.$$

选择阈值 $c$ 与边界随机化概率 $\gamma \in [0,1]$，使

$$P_{{\theta }_0}(T>c)+\gamma P_{{\theta }_0}(T=c)=\alpha .$$

定义检验

$$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}1,& T(x)>c,\\ \gamma ,& T(x)=c,\\ 0,& T(x)<c.\end{array}$$

在通常的共同支撑与可测性条件下，$\phi$ 是 level-$\alpha$ 检验，并且对每个 ${\theta }_1>{\theta }_0$，其功效不小于任何其他 level-$\alpha$ 检验；即它是 UMP level-$\alpha$ 检验。

左侧问题

$$H_0:\theta \ge {\theta }_0,H_1:\theta <{\theta }_0$$

使用小 $T$ 拒绝，结论对称。

直觉 ​

对每个固定备择 ${\theta }_1>{\theta }_0$，Neyman–Pearson 引理选择似然比大的区域。MLR 保证这些区域对所有 ${\theta }_1$ 都是同一统计量的上尾。另一方面，功效随参数单调，复合零假设中的最大拒绝概率出现在边界 ${\theta }_0$。两步合起来，把“每一对简单假设最强”升级为“整个单侧备择同时最强”。

例子与边界 ​

若 $S\sim \mathrm{Binomial}(n,p)$，检验

$$H_0:p\le p_0,H_1:p>p_0$$

时，大成功次数拒绝。离散分布可能无法只靠整数阈值精确达到 $\alpha$，此时在 $S=c$ 处随机化；禁止随机化时得到的检验通常保守。

已知方差 ${\sigma }^2$ 的正态样本中，$T=\overline{X}$，检验

$$H_0:\mu \le {\mu }_0,H_1:\mu >{\mu }_0$$

的 UMP 规则为

$$\overline{X}>{\mu }_0+z_{1-\alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}}.$$

双侧备择通常不存在对两方向同时 UMP 的单一检验。存在 nuisance 参数、支撑随参数变化或 MLR 不成立时，定理不能机械套用；可能需要条件检验、不变检验或只在 unbiased 类中求最优。

推论与应用 ​

检验反演给出单侧置信界。正态均值右尾检验反演为下置信界

$$\overline{X}-z_{1-\alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}}.$$

同一边界 size 控制保证覆盖率。

本定理依赖Neyman–Pearson 引理公理库Neyman–Pearson 引理Neyman–Pearson lemma简单零假设对简单备择下，给定显著性约束时似然比阈值检验具有最大功效。作为简单假设比较工具；MLR 是使所有比较共享同一阈值结构的额外条件。它不把双侧、复合 nuisance 参数或序贯停止问题自动纳入结论。

参考资料

• Samuel Karlin and Herman Rubin, “The Theory of Decision Procedures for Distributions with Monotone Likelihood Ratio,” Annals of Mathematical Statistics 27(2), 1956, 272–299.
• Erich L. Lehmann and Joseph P. Romano, Testing Statistical Hypotheses, 4th ed., Springer, 2022, §3.4.
• George Casella and Roger L. Berger, Statistical Inference, 2nd ed., Duxbury, 2002, §8.3.