单调似然比与 UMP 检验

形式定义 ​

分布族 $\{P_{\theta }\}$ 对统计量 $T$ 具有单调似然比（MLR），若对任意 ${\theta }_1>{\theta }_0$，

$$\frac{p_{{\theta }_1}(x)}{p_{{\theta }_0}(x)}$$

可写成 $T(x)$ 的非减函数。该性质比“均值随参数增加”强，它统一排列所有简单假设之间的证据。

Karlin–Rubin 结论：若族对 $T$ 有 MLR，则检验 $H_0:\theta \le {\theta }_0$ 对 $H_1:\theta >{\theta }_0$ 时，在 $T>c$ 拒绝并在边界随机化以达到 level $\alpha$，是 UMP level-$\alpha$ 检验。

推导 ​

对任意固定 ${\theta }_1>{\theta }_0$，NP 引理公理库Neyman–Pearson 引理Neyman–Pearson lemma简单零假设对简单备择下，给定显著性约束时似然比阈值检验具有最大功效。给出的最强拒绝域是似然比大的位置。MLR 使该区域对所有 ${\theta }_1$ 都统一为 $T>c$。阈值由边界分布 $P_{{\theta }_0}$ 校准；随机变量 $T$ 的随机序随 $\theta$ 增加，保证复合零假设最坏 size 在边界达到。

例子 ​

若 $S\sim \mathrm{Binomial}(n,p)$，对 $p_1>p_0$，

$$\frac{P_{p_1}(S=s)}{P_{p_0}(S=s)}={\left(\frac{p_1(1-p_0)}{p_0(1-p_1)}\right)}^s{\left(\frac{1-p_1}{1-p_0}\right)}^n,$$

随 $s$ 增加。故检验 $p\le p_0$ 对 $p>p_0$ 时，大成功次数拒绝是 UMP。

一参数自然指数族公理库统计指数族Exponential family · Natural exponential family密度的参数依赖通过自然参数与统计量内积进入，并由对数配分函数归一化的分布族。密度 $h(x)e^{\eta T-A(\eta )}$ 对自然参数通常具有 MLR，因为两参数似然比是 $e^{({\eta }_1-{\eta }_0)T}$ 乘常数。

完整量词与连续例子 ​

选择 $c,\gamma$ 使

$$P_{{\theta }_0}(T>c)+\gamma P_{{\theta }_0}(T=c)=\alpha ,$$

并在 $T>c$ 拒绝、$T=c$ 时以概率 $\gamma$ 拒绝。MLR 蕴含 $E_{\theta }\phi (T)$ 随 $\theta$ 非减，所以复合零假设内的最大 size 在边界 ${\theta }_0$ 达到。对每个固定 ${\theta }_1>{\theta }_0$，同一规则又是 NP 最强，因此对所有右侧备择同时最强。

正态位置族、已知方差时 $T=\overline{X}$，UMP 规则为

$$\overline{X}>{\mu }_0+z_{1-\alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}}.$$

其在 ${\mu }_1>{\mu }_0$ 下功效为

$$1-\mathrm{\Phi }(z_{1-\alpha }-\frac{\sqrt{n}({\mu }_1-{\mu }_0)}{\sigma }).$$

这个公式展示同一阈值如何覆盖整个单侧备择，而不是为每个 ${\mu }_1$ 重新设计检验。

若似然比随 $T$ 先升后降，拒绝域不再是统一上尾；仅有均值单调也不能替代 MLR。

边界 ​

MLR 依赖参数和统计量的排序；非单调重参数化会破坏“增大”的表达。双侧备择通常没有同一尾部对两方向都最强，因此 UMP 结论不能直接扩展。

离散分布阈值跳跃使精确 level 常需随机化；不随机化版本通常保守。nuisance 参数存在时，边界分布未必唯一，MLR 也可能不够。

双侧备择同时需要两尾，通常不存在 all-level UMP。常见双侧检验可能在 unbiased 或 invariant 类中最优，限定类必须写明。

应用 ​

MLR 将逐个简单备择的 NP 最强性提升为单侧复合备择的统一最强性，并连接 UMP 无偏检验和指数族理论。

左侧单尾问题 $H_0:\theta \ge {\theta }_0$ 对 $H_1:\theta <{\theta }_0$ 使用小 $T$ 拒绝，证明完全对称。若自然参数 $\eta (\theta )$ 递减，则需先按 $\eta$ 排序，不能机械沿用“大统计量支持大原参数”的方向。

检验反演给 UMP 单侧置信界。例如正态均值的右尾检验反演成下界 $\overline{X}-z_{1-\alpha }\sigma /\sqrt{n}$；对每个固定 $\mu$ 覆盖由同一个边界 size 控制继承。离散 MLR 族的随机化则对应边界点的随机纳入。

MLR 还是 stochastic order 的充分条件，使功效曲线单调。若实际 power simulation 随参数大幅非单调，常提示统计量实现、随机化或模型假设有误，而不是 MLR 定理本身失效。

MLR 在充分统计量的一一单调变换下保持，但非单调压缩会丢掉排序。例如把 $T$ 换成 $T^2$ 会混合正负方向，除非 $T$ 支持本来非负。选择统计量时应验证 likelihood ratio 真正只通过该统计量且方向一致。

参考资料

• Samuel Karlin and Herman Rubin, “The Theory of Decision Procedures for Distributions with Monotone Likelihood Ratio,” Annals of Mathematical Statistics 27, 1956。
• Erich L. Lehmann and Joseph P. Romano, Testing Statistical Hypotheses, 3rd ed., Springer, 2005，Ch. 3–4。
• George Casella and Roger L. Berger, Statistical Inference, 2nd ed., Duxbury, 2002，§8.3。