单调似然比与 UMP 检验：从证据排序到统一最优性

四个入口各解决什么 ​

1. 似然函数理路似然函数Likelihood function固定可观测数据后，由共同支配密度定义、仅在参数间作相对比较的似然函数。：确定正在比较什么。 先写完整观测的联合密度，再比较两个固定参数。可以删去对两者相同的正因子；参数相关的支撑不能删。完成这一站后，应能说明似然比为何是同一份数据下的相对证据。
2. Neyman–Pearson 引理理路Neyman–Pearson 引理Neyman–Pearson lemma简单零假设对简单备择下，给定显著性约束时似然比阈值检验具有最大功效。：固定一个备择。 给定水平预算，优先在似然比大的区域拒绝。关注证明中的逐点符号不等式，并追问等号何时迫使两个检验相同；终点的双侧反证正要用到这个唯一性问题。
3. 单调似然比理路单调似然比Monotone likelihood ratio · MLR property任意较大参数对较小参数的似然比都随同一统计量单调的分布族结构。：检查所有参数比较是否共享排序。 需要核验任意两个有序参数，而非只挑一对。若先压缩成统计量，还要分清“统计量分布的排序”与“完整样本似然比只依赖它”；该条目的二项式和非单调反例用于练习这一辨别。
4. Karlin–Rubin 定理理路Karlin–Rubin 定理Karlin–Rubin theorem · UMP one-sided test under MLR具有单调似然比的分布族中，统计量阈值检验对单侧复合备择一致最强。：把候选放回复合假设。 先用随机序确认最大零假设拒绝率在边界，再对每个固定单侧备择调用 NP 比较。共同的证据排序使这些最强规则能够重合。

不要把这四步压成“似然比单调，所以最优”。排序决定应先拒绝哪些样本；水平校准决定可以拒绝多少；复合问题还要求同一条规则同时完成所有比较。若方向改变后最强区域也改变，最后一步便可能失效。

终点任务：同一模型的单侧成功与双侧冲突 ​

设 $n\ge 1$，$X_1,\dots ,X_n$ 独立同分布于 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，已知 $\sigma >0$，$\mu \in \mathbb{R}$。固定 $0<\alpha <1$ 和 ${\mu }_0$，记

依次完成以下任务：

1. 对任意 ${\mu }_1>{\mu }_0$，从完整样本似然比说明为什么大 $Z$ 支持备择，并为 $H_0:\mu \le {\mu }_0$ 对 $H_1:\mu >{\mu }_0$ 校准上尾检验。
2. 写出该检验在任意 $\mu$ 下的功效。取 $n=16,\sigma =2,\alpha =0.05,\mu ={\mu }_0+1$ 复算一个数值。
3. 把问题改为 $H_0:\mu ={\mu }_0$ 对 $H_1:\mu \ne {\mu }_0$。任选 $h>0$，证明不存在一个 level-$\alpha$ 检验能同时达到 ${\mu }_0+h$ 与 ${\mu }_0-h$ 各自的 NP 最强功效。允许随机化，并覆盖整个 $0<\alpha <1$，不能只画出小水平下不相交的两个尾部。

解答：先求功效，再检查最优规则能否相同 ​

写 $\delta =\sqrt{n}({\mu }_1-{\mu }_0)/\sigma >0$。展开正态联合密度的平方项，得到

它严格随 $Z$ 增大。在 ${\mu }_0$ 下 $Z\sim N(0,1)$，故拒绝规则为 $Z>z_{1-\alpha }$；连续分布不需要边界随机化。任意 $\mu$ 下，$Z$ 的均值为 $\sqrt{n}(\mu -{\mu }_0)/\sigma$、方差为一，所以功效为

它随 $\mu$ 增大，在 $\mu \le {\mu }_0$ 上最大为 $\alpha$；这确认了复合零假设下的水平。相同的拒绝规则又对每个右侧备择都是 NP 最强规则，从而完成单侧 UMP 的两项义务。任务给定数值的标准化位移为 $2$，功效约为 $1-\mathrm{\Phi }(1.644854-2)=0.638760$。

现在固定左右两个简单备择。它们各自唯一的最强规则为

这里的唯一性指 $P_{{\mu }_0}$-几乎处处。确实，似然比严格单调，阈值等号只对应一个正态零概率点；在 NP 证明中，非负的

若积分为零，就迫使 $\phi ={\phi }_{\pm }$ 于阈值之外。若竞争检验的 size 小于 $\alpha$，$k_{\pm }>0$ 又会使功效差严格为正。因此允许随机化也不会增加另一种同功效的最强规则。

两规则却不可能几乎处处相同。利用 $z_{\alpha }=-z_{1-\alpha }$，其拒绝域对称差在 $P_{{\mu }_0}$ 下的概率为

当 $\alpha >1/2$ 时两尾虽有重叠，仍有正概率的差异。若双侧 UMP 检验存在，它必须分别达到这两个简单备择的最强功效，因而同时等于两条不同规则，矛盾。这个反证说明该 Gaussian 双侧问题没有不加限制的 UMP 检验；它没有否定在无偏或不变检验类中另求最优的可能。

完成任务后，可把每项结论对应回阅读入口：似然负责证据轴，NP 负责单点比较及等号条件，MLR 负责把方向对齐，Karlin–Rubin 负责复合水平与共同最强性。双侧反证则检验这些接口在哪里不能继续组合。

下一步若关心区间，阅读置信集合与检验对偶理路置信集合与检验的对偶Confidence set and test duality · Test inversion逐参数反演 level 检验得到覆盖置信集合，并由置信集合反构造点零假设检验。，把每个候选参数下的水平控制转成覆盖率；若允许根据数据决定何时停止，转到序贯概率比检验理路序贯概率比检验Sequential probability ratio test · SPRT累积简单假设似然比并在越过上下边界时停止的序贯检验。，重新把停止规则纳入实验。未知方差、参数相关支撑和干扰参数也会改变所需论证，应先回到模型条件，再选择最优性准则。