单调似然比

形式陈述 ​

设分布族 $\{P_{\theta }:\theta \in \mathrm{\Theta }\subseteq \mathbb{R}\}$ 对共同支配测度具有密度 $p_{\theta }(x)$，$T=T(x)$ 为实值统计量公理库统计量与抽样分布Statistic · Sampling distribution由样本计算且不含未知参数的可测函数，以及它在重复抽样下诱导的概率分布。。若对任意 ${\theta }_1>{\theta }_0$，存在非减函数 $g_{{\theta }_1,{\theta }_0}$ 使

$$\frac{p_{{\theta }_1}(x)}{p_{{\theta }_0}(x)}=g_{{\theta }_1,{\theta }_0}(T(x))$$

在相关支撑上成立，则称该族对 $T$ 具有单调似然比性质。允许零密度时，应以交叉乘积不等式或扩展值似然比表述，避免 $0/0$。

MLR 的方向依赖参数与统计量的排序。把 $T$ 换成严格递增变换不改变方向；换成严格递减变换则反转方向。非单调重参数化不保留“参数增大”的全局含义。

直觉 ​

MLR 表示所有两参数比较都同意同一条证据轴：$T$ 越大，证据越偏向较大的参数。它比均值随参数增大、单个似然函数公理库似然函数Likelihood function固定观测样本后，将共同支配密度视为参数函数所得的相对证据量。单峰或某一对参数的似然比单调都更强，因为量词覆盖所有 ${\theta }_1>{\theta }_0$。

这个共同排序使一条阈值拒绝规则可以同时服务整个单侧备择，而不必为每个备择参数重新设计区域。

例子与边界 ​

若 $S\sim \mathrm{Binomial}(n,p)$，则对 $p_1>p_0$，

$$\frac{P_{p_1}(S=s)}{P_{p_0}(S=s)}={\left(\frac{p_1(1-p_0)}{p_0(1-p_1)}\right)}^s{\left(\frac{1-p_1}{1-p_0}\right)}^n,$$

它随 $s$ 非减，所以二项族对成功次数 $S$ 有 MLR。

一参数自然指数族

$$p_{\eta }(x)=h(x)\exp \{\eta T(x)-A(\eta )\}$$

对自然参数 $\eta$ 通常具有 MLR，因为两密度之比是 $T$ 的指数函数。若原参数 $\theta$ 到 $\eta (\theta )$ 递减，则拒绝方向相应反转。

均值单调不能替代 MLR；似然比若先升后降，也无法用单一上尾阈值表达所有最强区域。支撑随参数改变时，必须把零密度区域一并纳入定义。

推论与应用 ​

MLR 蕴含相应的随机序关系，并使许多单调函数的期望随参数单调。Karlin–Rubin 定理公理库Karlin–Rubin 定理Karlin–Rubin theorem · UMP one-sided test under MLR具有单调似然比的分布族中，统计量阈值检验对单侧复合备择一致最强。把它与 Neyman–Pearson 引理结合，构造单侧复合假设的一致最强检验。

在置信区间反演、单调功效曲线和指数族统计中，MLR 提供统一的排序结构。它本身是分布族性质，不等同于某个检验定理，也不自动给出双侧 UMP 检验。

参考资料

• Erich L. Lehmann and Joseph P. Romano, Testing Statistical Hypotheses, 4th ed., Springer, 2022, Chapter 3.
• George Casella and Roger L. Berger, Statistical Inference, 2nd ed., Duxbury, 2002, §8.3.
• Samuel Karlin and Herman Rubin, “The Theory of Decision Procedures for Distributions with Monotone Likelihood Ratio,” Annals of Mathematical Statistics 27(2), 1956.