单调似然比

MLR 表示所有两参数比较都同意同一条证据轴：$T$ 越大，证据越偏向较大的参数。它比均值随参数增大、单个似然函数理路似然函数Likelihood function固定可观测数据后，由共同支配密度定义、仅在参数间作相对比较的似然函数。单峰或某一对参数的似然比单调都更强，因为量词覆盖所有 ${\theta }_1>{\theta }_0$。

这个共同排序使一条阈值拒绝规则可以同时服务整个单侧备择，而不必为每个备择参数重新设计区域。

若 $0<p_0<p_1<1$ 且 $S\sim \mathrm{Binomial}(n,p)$，则对 $p_1>p_0$，

括号中的底数大于一，因为 $p_1(1-p_0)>p_0(1-p_1)$ 等价于 $p_1>p_0$。其余因子不随 $s$ 改变，因此似然比随成功次数增加。若原始数据是独立 Bernoulli 试验，联合似然为 $p^s(1-p{)}^{n-s}$，两参数之比仍是上式，所以这一排序也适用于完整样本。

一参数自然指数族

在共同支撑上对自然参数 $\eta$ 具有 MLR，因为两密度之比是 $T$ 的指数函数。若原参数 $\theta$ 到 $\eta (\theta )$ 递减，则拒绝方向相应反转。

取 $n=2,p_0=1/2,p_1=3/4$，三个成功次数 $s=0,1,2$ 对应的似然比分别为 $1/4,3/4,9/4$；每多一次成功，支持较大参数的比值都乘以3。这是证据排序，不是说某一参数下三个点的概率本身递增。

若在这两种简单假设间比较检验，最值得优先纳入拒绝域的是 $s=2$：它在 $p_0$ 下概率为 $1/4$，在 $p_1$ 下概率为 $9/16$。若要求第一类错误恰为 $0.1$，可在 $s=2$ 时以 $0.4$ 的概率拒绝，其余不拒绝；此时零假设拒绝率为 $0.25\times 0.4=0.1$，备择功效为 $0.5625\times 0.4=0.225$。MLR 决定证据先后，水平约束决定阈值及是否需要随机化。

均值单调不能替代 MLR。例如在 $\{0,1,2\}$ 上，两分布概率依次为 $(0.4,0.4,0.2)$ 与 $(0.3,0.2,0.5)$，均值从 $0.8$ 增至 $1.2$，似然比却为 $(0.75,0.5,2.5)$，先降后升，因而对 $T(x)=x$ 没有 MLR。支撑随参数改变时，必须把零密度区域一并纳入定义。

MLR 蕴含 $T$ 的随机序关系：任意固定阈值 $c$ 的上尾概率 $P_{\theta }(T>c)$ 随 $\theta$ 非减；更一般地，对非减函数 $h$，在期望存在时 $E_{\theta }h(T)$ 非减。Karlin–Rubin 定理理路Karlin–Rubin 定理Karlin–Rubin theorem · UMP one-sided test under MLR具有单调似然比的分布族中，统计量阈值检验对单侧复合备择一致最强。把它与 Neyman–Pearson 引理结合，构造单侧复合假设的一致最强检验。

在置信区间反演、单调功效曲线和指数族统计中，MLR 提供统一的排序结构。它本身是分布族性质，不等同于某个检验定理，也不自动给出双侧 UMP 检验。