单调似然比 | Codeboy's Blog

形式陈述

设分布族 $\{P_\theta:\theta\in\Theta\subseteq\mathbb R\}$ 对共同支配测度具有密度 $p_\theta(x)$ ， $T=T(x)$ 为实值统计量。若对任意 $\theta_1>\theta_0$ ，存在非减函数 $g_{\theta_1,\theta_0}$ 使

\frac{p_{\theta_1}(x)}{p_{\theta_0}(x)} = g_{\theta_1,\theta_0}(T(x))

在相关支撑上成立，则称该族对 $T$ 具有单调似然比性质。这里比较的是整个观测 $x$ 的密度，而不只是任意统计量的边缘密度。若只验证 $T$ 的抽样分布有此性质，要将结论用于所有基于 $x$ 的检验，还需保证 $T$ 充分。允许零密度时，可在两密度至少一个为正的区域采用扩展值似然比；在 $T(x)<T(y)$ 时要求

p_{\theta_1}(y)p_{\theta_0}(x)\ge p_{\theta_1}(x)p_{\theta_0}(y),

并保证同一 $T$ 值上的比值一致。这样不会把 $0/0$ 当作普通数。

MLR 的方向依赖参数与统计量的排序。把 $T$ 换成严格递增变换不改变方向；换成严格递减变换则反转方向。非单调重参数化不保留“参数增大”的全局含义。

直觉

MLR 表示所有两参数比较都同意同一条证据轴： $T$ 越大，证据越偏向较大的参数。它比均值随参数增大、单个似然函数单峰或某一对参数的似然比单调都更强，因为量词覆盖所有 $\theta_1>\theta_0$ 。

这个共同排序使一条阈值拒绝规则可以同时服务整个单侧备择，而不必为每个备择参数重新设计区域。

例子与边界

若 $0<p_0<p_1<1$ 且 $S\sim\operatorname{Binomial}(n,p)$ ，则对 $p_1>p_0$ ，

\frac{P_{p_1}(S=s)}{P_{p_0}(S=s)} = \left(\frac{p_1(1-p_0)}{p_0(1-p_1)}\right)^s \left(\frac{1-p_1}{1-p_0}\right)^n,

它随 $s$ 非减，所以二项族对成功次数 $S$ 有 MLR。

一参数自然指数族

p_\eta(x)=h(x)\exp\{\eta T(x)-A(\eta)\}

在共同支撑上对自然参数 $\eta$ 具有 MLR，因为两密度之比是 $T$ 的指数函数。若原参数 $\theta$ 到 $\eta(\theta)$ 递减，则拒绝方向相应反转。

取 $n=2,p_0=1/2,p_1=3/4$ ，三个成功次数 $s=0,1,2$ 对应的似然比分别为 $1/4,3/4,9/4$ ；每多一次成功，支持较大参数的比值都乘以3。这是证据排序，不是说某一参数下三个点的概率本身递增。

均值单调不能替代 MLR。例如在 $\{0,1,2\}$ 上，两分布概率依次为 $(0.4,0.4,0.2)$ 与 $(0.3,0.2,0.5)$ ，均值从 $0.8$ 增至 $1.2$ ，似然比却为 $(0.75,0.5,2.5)$ ，先降后升，因而对 $T(x)=x$ 没有 MLR。支撑随参数改变时，必须把零密度区域一并纳入定义。

推论与应用

MLR 蕴含相应的随机序关系，并使许多单调函数的期望随参数单调。Karlin–Rubin 定理把它与 Neyman–Pearson 引理结合，构造单侧复合假设的一致最强检验。

在置信区间反演、单调功效曲线和指数族统计中，MLR 提供统一的排序结构。它本身是分布族性质，不等同于某个检验定理，也不自动给出双侧 UMP 检验。

参考资料

Jun Shao, Stat 710: Mathematical Statistics, Lecture 22: Monotone Likelihood Ratio and UMP Tests, University of Wisconsin–Madison, 2009，Definition 6.2、Lemma 6.3、Theorem 6.2，讲义。
Karl B. Gregory, STAT 713 Lecture 11: Unbiased Tests, Uniformly Most Powerful Tests, Neyman–Pearson and Karlin–Rubin, University of South Carolina, 2023，幻灯片12–14，讲义。

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