形式陈述

设随机变量 $X:(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)\to(S,\mathcal S)$$X:(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mathbb{P})\to (S,\mathcal{S})$ 可测。$X$$X$ 的概率分布或律是推前测度

$$ \mathcal L(X)=\mathbb P\circ X^{-1}, \qquad \mathcal L(X)(A)=\mathbb P(X\in A),\quad A\in\mathcal S. $$$$\mathcal{L}(X)=\mathbb{P}\circ X^{-1},\mathcal{L}(X)(A)=\mathbb{P}(X\in A),A\in \mathcal{S}.$$

它是 $(S,\mathcal S)$$(S,\mathcal{S})$ 上总质量为一的测度。若 $X,Y$$X,Y$ 的分布相同，记作 $X\overset d=Y$$X\stackrel{d}{=}Y$；这只要求所有可测取值事件概率相同，不要求它们定义在同一概率空间或逐样本相等。

直觉

分布忘掉随机变量由哪个样本机制产生，只保留输出落入各可测集合的概率。许多概率计算因此可在取值空间上直接进行。

例子与边界

掷公平骰子的点数分布在 $\{1,\ldots,6\}$$\{1,\dots ,6\}$ 上各给质量 $1/6$$1/6$。不同随机变量可以同分布但独立、相关甚至定义在不同空间。分布不一定有密度：离散分布含原子，Cantor 分布既无离散原子也不对 Lebesgue 测度绝对连续。联合分布包含变量间依赖信息，单独的边缘分布不能确定联合分布。

推论与应用

分布把随机变量连接到测度论；对非负或可积的可测函数 $g$$g$，可用积分公式 $\mathbb E[g(X)]=\int_Sg\,d\mathcal L(X)$$\mathbb{E}[g(X)]={\int }_{S}gd\mathcal{L}(X)$ 计算期望，并据此定义弱收敛、统计模型和生成采样。

参考资料

• Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995，Chs. 1–2, random variables and induced probability measures。
• Sheldon Ross, A First Course in Probability, 10th ed., Pearson, 2019，Ch. 4, random variables and probability laws。