最大均值差异

MMD 寻找 RKHS 单位球中最能拉开两分布期望的见证函数。令 $h={\mu }_P-{\mu }_Q$。Cauchy–Schwarz 不等式理路Cauchy–Schwarz 不等式Cauchy–Schwarz inequality · 柯西–施瓦茨不等式内积的绝对值不超过两向量范数之积，且等号精确刻画线性相关。给出 $|⟨f,h⟩|\le \Vert h\Vert$；若 $h\ne 0$，取 $f=h/\Vert h\Vert$ 达到上界，若 $h=0$，每个函数的期望差都为零。由此，上确界精确化成核均值的距离。核选择决定允许什么见证函数，也就决定哪些差异更醒目。

总体 $P=Q$ 时 MMD 精确为零；两组独立有限样本的经验均值通常不同，所以样本 MMD 不会自动为零。检验的任务正是判断观察到的偏离是否超过同分布抽样波动。

令 $m,n\ge 1$，两组样本分别 IID 来自 $P,Q$，且组间独立。为同时讨论下列估计量的有限期望，假定 $\mathbb{E}k(X,X)$ 与 $\mathbb{E}k(Y,Y)$ 有限。biased V-statistic 是

它恰为 $\Vert {\hat{\mu }}_P-{\hat{\mu }}_Q{\Vert }^2$，所以总非负。其期望比总体平方 MMD 多出

因此通常向上有偏；若两个特征随机变量都几乎必然为常量，偏差也可为零。unbiased U-statistic 则是

要求 $m,n\ge 2$；它对总体平方 MMD 无偏，却可取负值。

用两点集合上的 delta 核 $k(x,z)=\mathbf{1}\{x=z\}$，取两组完全相同的样本 $X=(a,b)$、$Y=(a,b)$。V-statistic 为 0；每组的非对角核和均为 0，跨组四项中两项为 1，所以 U-statistic 为 $-1$。负数不是“距离为负”，只是无偏估计的有限样本波动。

再设真实 $P=Q$ 都在 $\{a,b\}$ 上均匀，却抽到 $X=(a,a)$、$Y=(a,b)$。经验嵌入分别是 $k_a$ 与 $(k_a+k_b)/2$，biased MMD 平方为

明确反驳“只要 $P=Q$，样本 MMD 就必为零”。另一方面，线性核只比较普通均值；均值相同但分布不同可有总体 MMD 为零，说明 characteristic 条件不可省略。

两样本检验可在 $H_0:P=Q$ 下合并数据并反复置换标签，重算同一统计量以获得有限样本的置换零分布；其有效性依赖零假设下可交换性。也可用渐近零分布：若总体中心化核对 $P\times P$ 平方可积，且 $m/(m+n)\to \rho \in (0,1)$，则 $H_0$ 下的 $(m+n){\widehat{\mathrm{MMD}}}_u^2$ 收敛到相应的加权中心化卡方和。这里的退化统计量、尺度和样本比例都与备择下的普通正态近似不同。

拒绝阈值、核及带宽应在保持检验水平的方案中选择。样本量有限时，characteristic 只保证总体可辨识，不保证对所有备择都有高功效。MMD 也用于生成模型训练和分布漂移监测，但数据依赖调参、时间依赖和重复报警会改变原有检验校准。

共享样本与一阶投影的入口 ​

一般的二阶U统计量与一阶投影理路二阶 U 统计量与一阶投影Order-two U-statistic and Hoeffding projection · 二阶U统计量 · Hoeffding一阶投影把所有成对核值的平均分解为单观测投影和退化余项，精确计算共享样本造成的方差，并区分根号样本量正态与退化尺度。解释：共享一个输入的核值为什么相关，一阶投影非零时为何出现根号样本量正态，而一阶投影为零时需重新确定尺度。它可以直接用于一个等样本量的配对版本：当 $m=n=r\ge 2$，令 $Z_i=(X_i,Y_i)$，这些对来自 $P\times Q$ 且彼此IID，定义对称核

$Eh(Z_i,Z_j)={\mathrm{MMD}}_k^2(P,Q)$，因此平均所有 $i<j$ 给出另一个无偏估计量。它的跨组项只取 $i\ne j$，不同于本页原估计量包含全部 $r^2$ 个跨组项；两者不能逐样本当作相同数值。有限二阶核矩下，前者可直接用一样本投影，原全跨项版本则需两样本投影分析。

在 $P=Q$ 下，对固定 $z=(x,y)$，记 $m_P(x)=E_{P}k(x,X)$。上述核的条件期望为 $m_P(x)+m_P(y)-m_P(x)-m_P(y)=0$，所以配对版本一阶退化。这一计算展示退化的机制，不替代前文全跨项版本的零分布与检验校准，也不删去其不等样本量能力。