再生性质

在欧氏空间里，坐标读取是与基向量做内积；再生性质把这个事实推广到可能无限维的函数空间。$k_x$ 是“读取位置 $x$”的代表向量。算法只要能计算核内积，就能读取由核截面组合成的函数，而无需展示整个无限维坐标。

这里有两个层次不能混淆：RKHS 是带范数和完备性的函数空间，再生性质是该空间中点值由内积表示的恒等式。一个抽象 Hilbert 空间未必由函数组成；一个函数 Hilbert 空间若点值不连续，也不会有这样的 $k_x$。

在 $\mathcal{X}=\{a,b\}$ 上令

按 Gram 乘法，$(f(a),f(b){)}^{\mathrm{\top }}=K(1,-1{)}^{\mathrm{\top }}=(1,-2{)}^{\mathrm{\top }}$，且

代表点 $b$ 的截面系数为 $(0,1)$，所以

可逐项复算再生公式。点值界给 $|f(b)|\le \sqrt{3}\sqrt{3}=3$，也与数值一致。

若 $k(x,x)=0$，核 Cauchy–Schwarz 迫使 $k(x,y)=0$ 对所有 $y$ 成立，继而所有 $f\in {\mathcal{H}}_k$ 都有 $f(x)=0$。因此零对角并不是“该点没有自相似度但仍可任意预测”的自由情形，而是整个空间在该点被钉为零。

再生是逐点陈述。即便每个 $E_x$ 都有界，若 $\underset{x}{sup}k(x,x)=\mathrm{\infty }$，也不存在对所有 $x$ 共用的点值常数。导数评价 $f\mapsto f^{\prime }(x)$ 是否连续还需核的额外可微性；不能从函数值再生直接推出任意导数也可再生。

映射 $x\mapsto k_x$ 给出 canonical feature map，因为其内积就是 $k(x,y)$。表示定理则利用核截面张成空间与其正交补：正交补在所有训练点取值为零，却增加或不减 RKHS 范数，因而可从最优解中删去。

对概率分布积分 $k_X$ 得到核均值时，再生公式把 $⟨f,\mathbb{E}{k}_X⟩$ 变成 $\mathbb{E}f(X)$；这一步还需 Bochner 可积性，不能只靠形式交换。点值界同样是核学习中稳定性和泛化估计的入口，但若核无界，相关期望与集中界需要另行验证。