正定与半正定矩阵

实数情形的 $x^{\mathsf{T}}Ax$ 是二次型理路二次型Quadratic form把向量映为二次齐次标量的函数，并通过极化与对称双线性形式相联系。；复数情形的 $x^{\ast }Ax$ 则是 Hermitian 形式的自配对，按 $|a{|}^2$ 缩放，而非复代数二次型所要求的 $a^2$。两者都给每个方向赋予实值能量。正定意味着除原点外没有平坦方向或负能量方向；半正定允许某些非零方向能量为零，但仍禁止向下弯曲。谱分解把空间旋转到特征向量坐标后，这个能量成为 $\sum _i{\lambda }_i|y_i{|}^2$，所以定性完全由特征值符号控制。

Gram 表示 $A=B^{\ast }B$ 说明半正定矩阵是在记录一组向量的内积：$A_{ij}=⟨b_i,b_j⟩$。零特征值意味着这些向量存在依赖，也意味着能量模型无法区分某些方向。

矩阵

的特征值为 $1,3$，并且

对 $(x,y)\ne (0,0)$ 成立，所以 $A$ 正定。Gram 矩阵总是半正定；若生成它的向量线性相关，Gram 矩阵会奇异，只是半正定而非正定。协方差矩阵也是这一情形：随机变量之间的精确线性关系会产生零方差方向。

对角元只记录标准基方向上的值。矩阵 $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ 的两个对角元都为正，但在 $x=(1,-1)$ 上二次型取 $-2$，所以有负能量方向。可逆性则只排除零特征值，例如 $\mathrm{diag}(1,-1)$ 可逆，却同时保留正、负方向。

半正定判据中，任意指标子集都可能提供关键信息。$\mathrm{diag}(0,-1)$ 的两个顺序主子式都是 $0$，而取 $I=\{2\}$ 得到主子式 $-1$，直接识别出第二个坐标方向上的负值。

联合约束也能来自有限函数数据。三点Pick例理路有限Nevanlinna–Pick插值Nevanlinna–Pick interpolation · Pick matrix criterion · 有限皮克插值用有限Pick矩阵判定共同有界全纯插值的存在性，证明可逆降阶、奇异唯一性和自由尾参数，并交出逐对收缩通过而整体失败的准确证书。的全部二阶主子式都非负，却在 $v=(3/5,-8/5,1{)}^{\mathsf{T}}$ 上给出 $v^{\ast }Pv=-17/300$，从而排除同一个全圆盘有界插值函数。有限Taylor系数理路Schur算法与有限Taylor系数插值Schur coefficient interpolation · Carathéodory–Fejér interpolation · Schur algorithm · 有限泰勒系数插值从单点有限Taylor系数判断全圆盘Schur延拓，以截断Toeplitz矩阵与逐阶参数剥离给充要证书，完整处理单位参数、唯一次数及自由尾函数。则检查 $I-T{T}^{\ast }⪰0$，其中 $T$ 是一般非Hermitian的三角乘法矩阵；不能误写成要求 $T$ 自身半正定。

矩问题还需核对这些数作为连续幂次矩的兼容性。矩表 $(1,0,0,0,1)$ 给出半正定Hankel矩阵 $\mathrm{diag}(1,0,1)$，却不可能来自正测度：二阶矩为零迫使质量集中在零，四阶矩便不能为一。平坦Hankel定理理路平坦 Hankel 矩的正测度证书Flat Hankel moment certificate · Univariate flat moment certificate · 一元平坦矩证书以前一阶矩阵正定和最后Schur余量为零，构造唯一的有限正原子测度；给出循环自伴证明、全部正测度中的唯一性及半正定和噪声边界。在前块正定与增广块秩不增长的明确条件下，才同时证明实节点、正权重和唯一代表；普通PSD判据自身没有这些额外结论。

若输入改为圆周矩 $c_k=\int z^{-k}d\mu$，结构矩阵变为 $T_n=(c_{i-j})$，有限圆周矩定理理路有限圆周矩与Toeplitz原子证书Truncated trigonometric moment problem · Positive Toeplitz Vandermonde decomposition · 有限圆周矩问题以有限Hermitian Toeplitz半正定判定正圆周测度存在，证明奇异数据的唯一原子表示、正定数据的多解及指定原子最大质量的准确达到。确实给出 $T_n⪰0$ 与正代表存在的等价。这里充分性额外使用Fejér–Riesz分解和紧凸包分离；奇异时核多项式还会唯一锁定全部正原子。这个结论属于完整的圆周Toeplitz合同，不是对任意“看起来像矩阵”的PSD表作同样推断。

对已知支撑为 $[a,b]$ 的实矩，则由截断Hausdorff判据理路截断 Hausdorff 矩的区间支撑证书Truncated Hausdorff moment problem · Finite interval moment certificate · 有限区间矩与局部化矩阵判定一张完整有限幂次矩表是否来自指定紧区间上的正测度，证明奇偶局部化判据、退化时唯一性及下一矩的可达范围。补上端点局部化矩阵。偶数阶要同时检查平方与 $(x-a)(b-x)$ 加权平方；奇数阶改用两个一次端点权。它们的联合PSD才构成完整条件。在 $[0,1]$ 上，矩表 $(1,1/2,1/3,1/4,5/24)$ 甚至有 $H_2\succ 0$，但局部化矩阵奇异，仍唯一确定 $\frac{1}{6}{\delta }_0+\frac{2}{3}{\delta }_{1/2}+\frac{1}{6}{\delta }_1$；唯一性不必总表现为Hankel秩停止增长。

正定矩阵定义一个内积理路内积空间Inner product space带正定对称双线性形式或正定 Hermitian 半双线性形式的向量空间。 $⟨x,y{⟩}_A=x^{\ast }Ay$，从而产生范数与椭球几何。半正定矩阵按 Loewner 序组织：$A⪰B$ 表示 $A-B⪰0$，这是矩阵不等式、协方差比较与凸优化的基本语言。

对开集上的二阶连续可微函数，若 $\mathrm{\nabla }f(x_0)=0$ 且 ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x_0)\succ 0$，则 $x_0$ 是严格局部极小点。驻点条件消去一阶项，使正的二阶项决定附近的变化。对比 $f(x)=x^2+x$：它在 $0$ 处的二阶导数为 $2$，但 $f(-\epsilon )={\epsilon }^2-\epsilon <0=f(0)$（$0<\epsilon <1$），因为一阶项主导了这一侧的变化。若定义域是开凸集，则 Hessian 处处半正定当且仅当函数凸。

最小二乘中的 $A^{\ast }A$ 总是半正定，因为 $x^{\ast }{A}^{\ast }Ax=\Vert Ax{\Vert }^2$；它正定恰好等价于 $\ker A=\{0\}$，即 $A$ 满列秩，此时最优参数解唯一。对已给定的正定矩阵，Cholesky 分解可直接用于求解；对秩亏的半正定矩阵，带主元的分解或 SVD 则能展示其零方向。

当Gram矩阵本身由测量比例决定时，D最优设计理路D最优设计与G最优等价定理D-optimal design · G-optimal design · Kiefer–Wolfowitz equivalence theorem · D最优实验设计在有限候选线性实验中，以逐点预测方差认证最大信息行列式，并说明支持、效率、换坐标与整数分配的边界。在可达半正定矩阵的凸包中寻找最大行列式；候选向量张成全空间才保证存在正定可行点。最优矩阵处的敏感度$a_i^{\mathsf{T}}{M}^{-1}{a}_i$把每个候选方向与当前尺度比较，全部不超过参数维数$p$便是全局证书。行列式小并不等于条件数大，但在同一固定候选集合与坐标中最大化行列式，确实对应最小化线性无偏协方差的广义方差。

这一序关系也用于概率估计：对 $t\ge 0$，Hermitian 矩阵 $S$ 满足 $\Vert S{\Vert }_2\le t$ 当且仅当 $-tI⪯S⪯tI$。矩阵 Bernstein 不等式理路矩阵 Bernstein 不等式Matrix Bernstein inequality · 矩阵伯恩斯坦不等式用逐项谱范数与矩阵方差控制独立中心化 Hermitian 矩阵和，借助 Lieb 凹性完成非交换指数矩证明，并计算随机图邻接矩阵的统一方向误差。将独立随机误差之和夹在这两个确定矩阵之间；平方项 $X_k^2⪰0$ 则让方差可以通过 Loewner 序累积控制。

Cartan数据应先还原为Gram矩阵 ​

秩二根系理路秩二 Cartan 矩阵与根系分类Rank-two Cartan classification · 秩二结晶根系分类从两个简单根的整数配对完整恢复四种有限秩二模型，给精确反射矩阵、根表和群阶，并用正定边界拒绝无限模型。给出一个不能把“整数矩阵”直接当作对称内积矩阵的例子。设两个简单根的Cartan配对按行分母约定写成 $A_{ij}=2({\alpha }_i,{\alpha }_j)/({\alpha }_i,{\alpha }_i)$，并令 $D=\mathrm{diag}(({\alpha }_i,{\alpha }_i))$。真正对称的矩阵是

例如 $A=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -1& 2\end{array}\right)$、$D=\mathrm{diag}(2,6)$ 给 $G=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -3& 6\end{array}\right)$，主子式为二、三，所以这份非正交坐标确有正定欧氏内积。不能对原来不对称的 $A$ 直接套用本页的对称正定判据。

边界 $G=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -2& 2\end{array}\right)$ 虽为半正定，却把非零坐标向量 $(1,1)$ 的长度算成零。因此它不能是一组线性无关欧氏基的Gram矩阵。在根系问题中，这个零主子式正对应反射积的无限幺幂边界，正定与半正定的区别有实际结构后果。