形式陈述

Lindeberg–Lévy 中心极限定理：若 $X_1,X_2,\ldots$$X_1,X_2,\dots$ 独立同分布，均值 $\mu$$\mu$ 有限、方差 $0<\sigma^2<\infty$$0<{\sigma }^2<\mathrm{\infty }$，令 $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$$S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i$，则

$$ \frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt n} \xrightarrow{d}N(0,1). $$$$\frac{S_n-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\stackrel{d}{\to }N(0,1).$$

即其分布函数在标准正态分布函数的每个连续点处收敛。结论描述标准化和的分布极限，不是样本路径逐点收敛；更一般的非同分布版本需要 Lindeberg、Lyapunov 等额外条件。

直觉

大量独立小扰动相加后，单个分布的细节在中心尺度上被平均掉，只剩均值与方差决定的近似钟形波动。

例子与边界

Bernoulli$(p)$$(p)$ 变量之和是二项分布，标准化后随 $n$$n$ 增大趋近正态。有限 $n$$n$ 时只是近似，离散性和尾部可能仍明显；Berry–Esseen 定理才给出误差速度。Cauchy 变量没有有限方差，标准化和仍为 Cauchy，不满足这一版本。中心极限定理也不说明样本均值几乎处处收敛，那是大数律。

推论与应用

CLT 支撑置信区间、假设检验、误差传播和随机算法近似。使用时必须核对独立性、方差和尾部条件，并区分中心区域近似与罕见事件的大偏差。

参考资料

• Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995，Ch. 4, central limit theorem for independent variables。
• Rick Durrett, Probability: Theory and Examples, 5th ed., Cambridge University Press, 2019，Ch. 3, classical central limit theorems。