二项分布

二项分布记录的不是每次试验怎样排列，而只是固定 $n$ 次试验最后积累了多少次成功。若总数为 $k$，每一种指定的成功位置都具有概率 $p^k(1-p{)}^{n-k}$；一共有 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ 种位置模式，所以总质量正是二者的乘积。它把一串 0—1 结果压缩为一个计数，同时仍保留“试验次数”和“单次成功倾向”两个彼此不同的尺度：$n$ 决定可取值范围，$p$ 决定质量偏向哪一端。

一枚正面概率为 $0.4$ 的硬币独立抛五次，正面数 $X$ 服从 $\mathrm{Bin}(5,0.4)$。恰有两次正面的概率是

其中一种顺序是“正、正、反、反、反”，其概率为 ${0.4}^2\cdot {0.6}^3=0.03456$；另九种成功位置与它互斥且具有相同概率，因此乘以 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=10$。平均正面数是 $2$，方差是 $1.2$。这个例子里的“独立”和“每次同为 $0.4$”都属于模型，不是“做了五次试验”自动附带的性质。

不放回抽样是更容易误用二项模型的场景。盒内有两红两蓝，抽两件，令 $X$ 为红件数。每次抽取的边缘红色概率都是 $1/2$，但 $\text{Pr}(X=2)=(2/4)(1/3)=1/6$，并非二项模型给出的 $(1/2{)}^2=1/4$。第一件抽红后，第二件的成功概率下降，独立性失效；应使用超几何计数。

若第 $i$ 次成功概率为 $p_i$ 且各次仍独立，总数服从 Poisson-binomial 分布，通常不能用单个 $p$ 写成二项 PMF。当 $n\ge 2$ 且 $0<p<1$ 时，若令 $B_1=\cdots =B_n$，各次边缘概率虽然相同，总数却只可能是 $0$ 或 $n$，不是二项分布。边界参数 $p=0,1$ 分别给出恒为 $0,n$ 的退化分布；$n=0$ 时空和恒为零。

二项分布直接承接Bernoulli 随机变量理路Bernoulli 随机变量Bernoulli random variable只取 0 与 1 且成功概率为 p 的基本随机变量。，其矩母函数也展示了独立和如何把乘积化成幂。固定 $0<p<1$、让 $n$ 增大并标准化，可由中心极限定理理路中心极限定理Central limit theorem适当归一化的独立随机变量和在分布上趋于正态分布。得到正态近似；令 $p=p_n$ 变小而保持 $n{p}_n\to \lambda$，则得到Poisson 分布理路Poisson 分布Poisson distribution · 泊松分布以强度参数描述固定窗口内稀有事件计数的离散分布。的稀有事件极限。有限样本下，Chernoff 方法理路Chernoff 方法与 Chernoff 界Chernoff method · Chernoff bounds从指数矩与 Markov 不等式推导尾界，给出独立 Bernoulli 和的乘法形式、KL 形式及适用条件。与 Hoeffding 不等式理路Hoeffding 不等式Hoeffding's inequality独立有界随机变量和偏离期望的概率以平方偏差的指数速度衰减。控制计数偏离 $np$ 的概率，因此二项模型也是随机抽样、A/B 试验和随机算法成功次数分析的标准起点。

若各次成功率不同而仍相互独立，计数属于Poisson–二项分布理路Poisson–二项分布Poisson binomial distribution · Poisson-binomial distribution · 泊松二项分布计算独立不同成功率事件的总次数，以逐项卷积得到完整质量和尾概率，区分同率替代、相关指标与近似误差。。逐项卷积能精确给出全部概率质量；用平均成功率填入普通二项分布虽保留均值，却一般改变方差与尾概率。原地递推须从高计数向低计数更新，避免同一次试验被重复使用。

二项条件化还给出两种不同的精确检验。Fisher 精确检验理路Fisher 精确检验Fisher exact test · Fisher–Irwin exact test从两个独立二项样本条件于总成功数推导超几何分布，以预定单侧或概率排序双侧尾部校准检验，并说明离散性、递推计算与配对表的边界。从两个独立二项样本固定总成功数，得到超几何分布；McNemar 检验理路McNemar 精确配对检验Exact McNemar test · Conditional binomial test for matched proportions在独立同分布二元对中把边际比例相等化为两个不一致方向等概率，条件于不一致对数推导精确二项尾部，并区分关联、时间效应与抽签概率。从独立同分布二元对固定不一致对数，在边际同质假设下得到成功率二分之一的二项分布。共同概率如何消去，取决于原样本模型。