Poisson 分布

形式陈述 ​

对参数 $\lambda >0$，若非负整数值随机变量 $X$ 满足

$$\text{Pr}(X=k)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!},k=0,1,2,\dots ,$$

则称 $X$ 服从 Poisson 分布，记作 $X\sim \mathrm{Pois}(\lambda )$。当 $\lambda >0$ 时，

$$\mathbb{E}X=\lambda ,\mathrm{Var}(X)=\lambda ,M_X(t)=\exp (\lambda (e^t-1)).$$

若 $X\sim \mathrm{Pois}(\lambda )$、$Y\sim \mathrm{Pois}(\mu )$ 且相互独立，则 $X+Y\sim \mathrm{Pois}(\lambda +\mu )$。此外，若 $X_n\sim \mathrm{Bin}(n,p_n)$，且 $p_n\to 0$、$n{p}_n\to \lambda$，那么对每个固定 $k$，

$$\text{Pr}(X_n=k)⟶e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}.$$

这才是“二项分布可用 Poisson 近似”的精确标度。

直觉 ​

把一个固定窗口切成大量很小的区段：每段发生一次事件的概率很小，同时不同区段近似独立，而总期望次数保持在 $\lambda$ 附近。切分越来越细时，单段多次发生的影响消失，最终计数只留下一个强度参数。独立窗口的计数相加仍为 Poisson，反映的正是窗口长度或来源强度可以直接叠加。“均值等于方差”是这个模型的可检验结构，不是所有计数数据都应满足的普遍规律。

例子与边界 ​

某服务在十分钟内收到的请求数可近似视为 $X\sim \mathrm{Pois}(3)$。那么恰好两次请求的概率为

$$\text{Pr}(X=2)=e^{-3}\frac{3^2}{2!},$$

没有请求的概率为 $e^{-3}$。若另一个独立来源在同一时段平均带来两次请求，两来源总数服从 $\mathrm{Pois}(5)$；这里的可加性依赖来源独立。

Poisson 分布只是一个窗口内计数的边缘分布，并不自动给出不同时间窗口之间的关系，因此不能与 Poisson 过程等同。实际数据若因高峰期与低谷期混合而出现方差显著大于均值，简单 Poisson 模型会低估尾部，这称为过度离散。$\lambda =0$ 时分布退化于零；这是一项合法边界，而负参数没有概率意义。

推论与应用 ​

二项分布公理库二项分布Binomial distribution固定次数独立同概率 Bernoulli 试验中成功总数的离散分布。的稀有事件极限解释了 Poisson 近似为何常用于缺陷数、到达数与大型系统中的低概率故障数。矩母函数一方面快速验证独立和的参数可加性，另一方面连接矩母函数公理库矩母函数Moment-generating function · MGF在存在邻域内以 E[e^{tX}] 编码随机变量各阶矩的函数。方法。若进一步规定不交时间区间上的计数独立、计数增量只依赖区间长度，便可建立 Poisson 过程；其中相邻到达的等待时间服从指数分布公理库指数分布Exponential distribution具有恒定失效率和连续无记忆性的非负等待时间分布。。不过这些过程级假设并不包含在单个 Poisson 随机变量的定义里。

参考资料

• Dimitri P. Bertsekas and John N. Tsitsiklis, Introduction to Probability, 2nd ed., Athena Scientific, 2008，§2.6, Poisson probabilities and approximation。
• Robert G. Gallager, MIT 6.262, Discrete Stochastic Processes, Ch. 2, Poisson processes and Poisson random variables。