指数分布

形式陈述 ​

给定速率参数 $\lambda >0$，若随机变量 $X$ 的概率密度公理库概率密度函数Probability density function · PDF当概率分布对参考测度绝对连续时，其 Radon–Nikodym 密度。为

$$f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x}{\mathbf{1}}_{\{x\ge 0\}},$$

则称 $X$ 服从速率为 $\lambda$ 的指数分布，记作 $X\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$。它的分布函数与生存函数分别为

$$F_X(x)=1-e^{-\lambda x},\text{Pr}(X>x)=e^{-\lambda x}(x\ge 0),$$

并且

$$\mathbb{E}X=\frac{1}{\lambda },\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{{\lambda }^2},M_X(t)=\frac{\lambda }{\lambda -t}(t<\lambda ).$$

对 $s,t\ge 0$，它满足连续无记忆性

$$\text{Pr}(X>s+t\mid X>s)=\text{Pr}(X>t).$$

其失效率 $h(x)=f_X(x)/\text{Pr}(X>x)$ 恒等于 $\lambda$；在非负连续分布中，无记忆性刻画的正是指数分布。

直觉 ​

生存函数每经过长度 $t$ 的时间就乘上同一个因子 $e^{-\lambda t}$。因此已经等待了多久，不会改变再等待一段固定时长仍未发生事件的条件概率；在极短区间 $\mathrm{\Delta }t$ 内发生事件的条件概率约为 $\lambda \mathrm{\Delta }t$，这就是恒定失效率。$\lambda$ 越大，事件到来得越快，所以均值是 $1/\lambda$ 而不是 $\lambda$。这个速率—尺度倒数关系是使用指数模型时最容易混淆、也最需要先固定的参数约定。

例子与边界 ​

若某类到达在每小时内以恒定速率 $\lambda =2$ 发生，并满足 Poisson 过程的独立平稳增量假设，则首次到达等待时间 $X\sim \mathrm{Exp}(2)$。等待超过半小时的概率为 $e^{-1}$；已经空等一小时后，再等半小时仍无到达的条件概率依旧是 $e^{-1}$，而不是因为“等得够久”就变小。

指数分布是连续模型，单点概率 $\text{Pr}(X=x)$ 都为零，不能把几何分布公理库几何分布Geometric distribution独立同概率 Bernoulli 试验中等待首次成功所需试验次数的分布。的 PMF 直接搬来。现实寿命若存在老化、磨损或早期故障，失效率会随时间改变，指数模型就不合适。某些文献以尺度参数 $\theta =1/\lambda$ 记作 $\mathrm{Exp}(\theta )$；若不声明约定，同一个符号会让均值和密度都写反。矩母函数也只在 $t<\lambda$ 时有限，不能把代数表达式越过收敛域使用。

推论与应用 ​

指数等待时间与Poisson 计数公理库Poisson 分布Poisson distribution · 泊松分布以强度参数描述固定窗口内稀有事件计数的离散分布。形成“相邻事件间隔—固定窗口计数”的对应：在 Poisson 过程中，第一个等待时间以及以后各相邻等待时间独立同分布为指数分布；反过来，以独立指数间隔构造的更新过程给出 Poisson 计数。若把若干独立 $\mathrm{Exp}(\lambda )$ 等待时间相加，则得到 Erlang/Gamma 型等待时间，而非仍为指数分布。排队论、可靠性分析与连续时间 Markov 链之所以常选指数停留时间，核心正是无记忆性使当前状态足以决定下一步。

参考资料

• Dimitri P. Bertsekas and John N. Tsitsiklis, Introduction to Probability, 2nd ed., Athena Scientific, 2008，§3.2, exponential random variables and memorylessness。
• Robert G. Gallager, MIT 6.262, Discrete Stochastic Processes, Ch. 2, exponential interarrival times in the Poisson process。