形式陈述

实随机变量 $X$$X$ 的矩母函数定义为

$$ M_X(t)=\mathbb E[e^{tX}] $$$$M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]$$

在该期望有限的 $t$$t$ 上。若 $M_X(t)$$M_X(t)$ 在 $0$$0$ 的某个开邻域内有限，则它在该邻域解析，并有

$$ M_X^{(n)}(0)=\mathbb E[X^n]. $$$$M_X^{(n)}(0)=\mathbb{E}[X^n].$$

在此条件下，MGF 唯一确定分布；独立和满足 $M_{X+Y}=M_XM_Y$$M_{X+Y}=M_X{M}_Y$。累积量母函数是 $K_X(t)=\log M_X(t)$$K_X(t)=\log M_X(t)$。

直觉

指数函数把所有整数阶矩装进 Taylor 系数，同时把独立随机变量的加法变成函数乘法。

例子与边界

正态变量的 MGF 为 $\exp(\mu t+\sigma^2t^2/2)$$\exp (\mu t+{\sigma }^2{t}^2/2)$。Cauchy 分布连一阶绝对矩都不存在，MGF 除 $t=0$$t=0$ 外发散；对数正态分布具有所有正整数矩，但 $M_X(t)=\infty$$M_X(t)=\mathrm{\infty }$ 对每个 $t>0$$t>0$，说明“所有矩存在”不推出 MGF 在零邻域存在，也不必由矩唯一确定分布。特征函数 $\mathbb E[e^{itX}]$$\mathbb{E}[e^{itX}]$ 总存在，因此极限定理更常使用它。

推论与应用

MGF 用于计算矩、识别常见分布、证明独立和的分布、Chernoff 界和中心极限定理的初等版本。

参考资料

• Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995，Ch. 4, transforms and moments of random variables。
• Sheldon Ross, A First Course in Probability, 10th ed., Pearson, 2019，Chs. 7–8, moment-generating functions and sums。